Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 7275

Cho các số thực không âm x, y , z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = xy + yz + zx + \frac{5}{x+y+z}.

Cho các số thực không âm x, y , z thỏa mãn x2 + y2

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực không âm x, y , z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = xy + yz + zx + \frac{5}{x+y+z}.


A.
maxP = \frac{14}{3}.
B.
maxP = \frac{13}{4}.
C.
maxP = \frac{13}{6}.
D.
maxP = \frac{13}{3}.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: xy + yz + zx =  \frac{(x+y+z)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{2} 

= \frac{(x+y+z)^{2}-3}{2}

Đặt t = x + y + z, ta có: 0 ≤ xy + yz +zx = \frac{t^{2}-3}{2}≤ x2 + y2 + z2 = 3 =>√3≤ t ≤ 3.

Khi đó,  ta có: P = f(t) = \frac{t^{2}-3}{2} + \frac{5}{t}, f’(t) = t - \frac{5}{t^{2}}  = \frac{t^{3}-5}{t^{2}} > 0, ∀t ≥ √3.

Vậy ta có: P = f(t) ≤ f(3) = \frac{14}{3}

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1. Vậy maxP = \frac{14}{3}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết