Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 64648

Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. cạnh huyền BC = \dpi{100} a\sqrt{2}; cạnh bên AA'= 2a, biết A' cách đều các đỉnh A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA', AC. Tính thể tích khối chóp C'MNB và khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (MNB).

Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. cạnh huyền BC = ; cạnh

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. cạnh huyền BC = \dpi{100} a\sqrt{2}; cạnh bên AA'= 2a, biết A' cách đều các đỉnh A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA', AC. Tính thể tích khối chóp C'MNB và khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (MNB).


A.
\dpi{100} V_{C'MNB}=\frac{\sqrt{14}a^{3}}{16}; \dpi{100} d_{C',(BMN)}=\frac{a\sqrt{14}}{4\sqrt{71}}
B.
\dpi{100} V_{C'MNB}=\frac{\sqrt{14}a^{3}}{8};\dpi{100} d_{C',(BMN)}=\frac{a\sqrt{14}}{4\sqrt{71}}
C.
\dpi{100} V_{C'MNB}=\frac{\sqrt{14}a^{3}}{8}; \dpi{100} d_{C',(BMN)}=\frac{3a\sqrt{14}}{4\sqrt{71}}
D.
\dpi{100} V_{C'MNB}=\frac{\sqrt{14}a^{3}}{16}; \dpi{100} d_{C',(BMN)}=\frac{3a\sqrt{14}}{4\sqrt{71}}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

- Tính thể tích:

Vì A' cách đều A, B, C nên chân đường cao hạ từ A' lên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi H là trung điểm của BC suy ra A'H ⊥(ABC)

Gọi K = MN ∩ AC' => AK = \dpi{100} \frac{1}{3}C'K

=> \dpi{100} V_{C'MNB}=3V_{AMNB}

Gọi E là trung điểm của AH => ME ⊥ (ABC)

=> \dpi{100} V_{MANB}=\frac{1}{3}ME.dt(ANB)

Tính được:

ME = \dpi{100} \frac{1}{2}A'H= \dpi{100} \frac{1}{2}\frac{a\sqrt{14}}{2}=\frac{a\sqrt{14}}{4}

=> \dpi{100} V_{MANB}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{14}}{4}.\frac{a^{2}}{4}=\frac{\sqrt{14}a^{3}}{48}

Vậy \dpi{100} V_{C'MNB}=\frac{\sqrt{14}a^{3}}{16}

- Tính khoảng cách:

\dpi{100} d_{(C',(BMN))}=3d_{(A,(BMN))}

Gọi F là trọng tâm tam giác ABC

Ta có: AE = \dpi{100} \frac{1}{2}AH=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}AF=\frac{3}{4}AF;

\dpi{100} EF= \frac{1}{4}AF

=> \dpi{100} d_{(A,(BMN))}=3d_{E,(BMN)}

Hạ EP ⊥ BN

EQ ⊥ MP

=> EQ ⊥ (MNB)

=> \dpi{100} d_{E,(MNB)}=EQ= \frac{EP.EM}{\sqrt{EP^{2}+EM^{2}}}

Ta có: tam giác EPF đồng dạng với tam giác BHF

=> \dpi{100} \frac{EP}{BH}=\frac{EF}{BF}

=> \dpi{100} EP=\frac{BH.EF}{BF}

Tính được: \dpi{100} BH = \frac{a\sqrt{2}}{2}; \dpi{100} EF=\frac{1}{4}AF=\frac{1}{4}.\frac{2}{3}.AH=\frac{1}{6}AH=\frac{a\sqrt{2}}{12}; BF=\frac{a\sqrt{5}}{3}

=> \dpi{100} EP =\frac{a\sqrt{5}}{20}

=> \dpi{100} EQ= \frac{EP.EM}{\sqrt{EP^{2}+EM^{2}}}=\frac{a\sqrt{14}}{4\sqrt{71}}

=> \dpi{100} d_{(C',(BMN))}=3d_{(A,(BMN))} \dpi{100} =12d_{E,(BMN)}=\frac{3a\sqrt{14}}{4\sqrt{71}}

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết