Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6066

Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho các điểm: A(2 ; 0 ; 0), A'(6 ; 0 ; 0) ; B(0 ; 3 ; 0) ; B'(0 ; 4 ; 0) ; C(0 ; 0 ; 3) ; C'(0 ; 0 ; 4). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, H' là trực tâm tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng 3 điểm O, G , H' thẳng hàng. Xác định tọa độ H'.

Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho các điểm: A(2 ; 0 ; 0)

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho các điểm: A(2 ; 0 ; 0), A'(6 ; 0 ; 0) ; B(0 ; 3 ; 0) ; B'(0 ; 4 ; 0) ; C(0 ; 0 ; 3) ; C'(0 ; 0 ; 4). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, H' là trực tâm tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng 3 điểm O, G , H' thẳng hàng. Xác định tọa độ H'.


A.
H'(-\frac{12}{11} ; \frac{18}{11} ; \frac{18}{11})
B.
H'(\frac{12}{11} ; \frac{18}{11} ; \frac{18}{11})
C.
H'(\frac{12}{11} ; \frac{18}{11} ; -\frac{18}{11})
D.
H'(\frac{12}{11} ; -\frac{18}{11} ; \frac{18}{11})
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó:

xG = \frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3} = \frac{2+0+0}{3} = \frac{2}{3}

yG  = \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3} = \frac{0+3+0}{3} = 1

zG = \frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3} = \frac{0+0+3}{3} = 1

⇒ G(\frac{2}{3} ; 1 ; 1) ⇒ \overrightarrow{OG} = (\frac{2}{3} ; 1 ; 1)

Mặt phẳng (A'B'C') có một véc-tơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n} = (2 ; 3 ; 3).

Tứ diện OA'B'C' là tứ diện vuông( có các góc phẳng ở đỉnh O là những góc vuông), H' là trực tâm ∆A'B'C' nên \overrightarrow{OH'} ⊥ (A'B'C') ⇒ \overrightarrow{OH'} cùng phương với \overrightarrow{n}

Mặt khác: \overrightarrow{OG} = (\frac{2}{3} ; 1 ; 1) ;  \overrightarrow{n} = (2 ; 3 ; 3) cùng phương

Từ đó \overrightarrow{OH'} cùng phương với \overrightarrow{OG}. Vậy O, G, H' thẳng hàng.

Toạ độ H' thỏa mãn hệ phương trình:

\left\{\begin{matrix} x=2t\\y=3t \\z=3t \\ 2x+3y+3z-12=0 \end{matrix}\right.  ⇒ \left\{\begin{matrix} t=\frac{6}{11}\\x=\frac{12}{11} \\ y=\frac{18}{11} \\ z=\frac{18}{11} \end{matrix}\right.  ⇒ H'(\frac{12}{11} ; \frac{18}{11} ; \frac{18}{11})

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết