Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5737

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = a, SB = b, SC= c. Gọi R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Chứng minh rằng:                                   R ≥ \frac{a+b+c}{2\sqrt{3}}

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = a, SB = b, SC= c. Gọi R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Chứng minh rằng:                                   R ≥ \frac{a+b+c}{2\sqrt{3}}


A.
Tính R theo a, b , c Sao đó sử dụng bất đẳng thức Co-si
B.
Tính R theo a, b, c Sau đó sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copski
C.
Tính R theo a, b, c Sau đó sử dụng tính đúng của bất đẳng thức (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0.
D.
Tính R theo a, b, c Sau đó sử dụng Co-si và Bunhia-copski
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Tính R theo a,b,c:

Cách 1:

    Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Do tam giác SAB vuông tại S và SC ⊥ (SAB) nên trục của tam giác SAB là đường thẳng đi qua trung điểm H của AB và song song với SC. Gọi K là trung điểm của SC. Do O thuộc mặt phẳng trung trực của SC nên OK ⊥ SC.

Ta có OHSK là hình chữ nhật nên: SO^{2}= SH^{2}+SK^{2}

=>R^{2}=\frac{SA^{2}+SB^{2}}{4}+\frac{SC^{2}}{4}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là:

                       R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2 }+c^{2}}}{2}

                         

Cách 2. Dựng hình hộp SAMB.CDEF. Dễ thấy hình hộp vừa dựng là hình hộp chữ nhật. Gọi O là tâm của hình hộp trên. Do O cách đều các đỉnh của hình hộp nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Do đó:

 R=\frac{1}{2}SE=\frac{1}{2}\sqrt{SA^{2}+SB^{2}+SC^{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2 }+c^{2}}}{2}

                      

Cách 3: (Phương pháp vectơ)

Đặt  \vec{SA}=\vec{u}, \vec{SB}=\vec{v}, \vec{SC}=\vec{w}

Ta có:\left\{\begin{matrix} |\vec{u}|=a, \vec{v}=b, \vec{w}=c\\ \vec{u}.\vec{v} =\vec{v}.\vec{w}=\vec{w}.\vec{u}=0 \end{matrix}\right.

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Giả sử:

         \vec{SO}=x.\vec{u}+y.\vec{v}+z.\vec{c}=> R2 = \overrightarrow{SO}^{2}  = x2a2 +   y2b2 + z2c2(1)

Ta có: \vec{OA}= \vec{SA}-\vec{SO}=(1-x).\vec{u}-y.\vec{v}-z\vec{w}

=> R^{2}=\vec{OA}^{2}=(1-x)^{2}a^{2}+y^{2}b^{2}+z^{2}c^{2}      (2)

Từ (1) và (2) suy ra x^{2}=(1-x)^{2}<=>x=\frac{1}{2 }

Chứng minh tương tự ta có: y = z = \frac{1}{2 }. Thay vào (1) ta có: 

                        R^{2}=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})

Vậy R= SO =\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2 }+c^{2}}}{2}

Chứng minh :     R=\frac{a+b+c}{2\sqrt{3}}. Điều cần chứng minh tương đương với:

             \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{12}<=>3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2

Khai triển và rút gọn ta được bất đẳng thức tương đương:

      2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac – 2ca ≥ 0

       <=>  (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0.

Bất đẳng thức (1)  đúng và ta có điều phải chứng minh.

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết