Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 57118

Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz  + yz  + 1  = xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{2x}{x^{2}+1} + \frac{2y}{y^{2}+1} + \frac{z^{2}-1}{z^{2}+1}

Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz + yz  + 1  = xy. Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz  + yz  + 1  = xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = \frac{2x}{x^{2}+1} + \frac{2y}{y^{2}+1} + \frac{z^{2}-1}{z^{2}+1}


A.
\frac{5}{2}
B.
- \frac{3}{2}
C.
\frac{3}{2}
D.
-\frac{5}{2}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt a = \frac{1}{x}; b = \frac{1}{y}; c = z => ab + bc + ca = 1

1 + a2 =  (a + b)(a + c); 1 + b2 = (a + b)(b + c), 1  + c2 = (a + c)(b + c)

 \frac{a}{1+a^{2}} + \frac{b}{1+b^{2}} = \frac{a}{(a+b)(a+c)} + \frac{b}{(a+b)(b+c)} = \frac{1+ab}{(a+b)(b+c)(c+a)} 

=  \frac{1+ab}{\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}\sqrt{1+c^{2}}}  ≤ \frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}

Ta có P ≤ \frac{2}{\sqrt{1+c^{2}}} + \frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} = f(c)

=> f'(x) = \frac{-2c(\sqrt{1+c^{2}}-2)}{(1+c^{2})^{2}}

Vậy maxP = maxf(c) = f(√3) = \frac{3}{2} đạt được khi x = y = 2 + √3, z = √3

Chú Ý : Có thể giải bài BPT theo phương pháp lượng giác hóa

\frac{1}{x} = tan\frac{A}{2}; \frac{1}{y} = tan\frac{B}{2} ; z = tan\frac{C}{2}, (A, B,C  ∈ (0;π)) => A + B + C = π

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết