Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 56871

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5( a + b + c) - 2 ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a  + b + c +  48 (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a}+10} + \frac{1}{\sqrt[3]{b+c}})

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5( a + b + c) - 2 ab . Tìm giá

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5( a + b + c) - 2 ab .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a  + b + c +  48 (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a}+10} + \frac{1}{\sqrt[3]{b+c}})


A.
minP = 56
B.
minP = 58
C.
minP = 59
D.
minP = 57
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có a2 + b2 + c2 = 5(a + b + c) – 2ab ⇔ (a + b)2 + c2  = 5(a + b + c)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

(a + b)2 + c2 ≥ \frac{1}{2}(a + b + c)2 => \frac{1}{2}(a + b + c)2 ≤ 5(a + b + c)

=> 0 < a + b + c ≤ 10

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a}+10} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a+10}{3}}}; \sqrt{\frac{a+10}{3}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a+10}{3}}.4 ≤ \frac{1}{4}(\frac{a+10}{3} + 4) 

= \frac{a+22}{12} => \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a}+10} ≥ \frac{12}{a+22}

\sqrt[3]{b+c} = \frac{1}{4}\sqrt[3]{(b+c).8.8} ≤ \frac{1}{4}.\frac{b+c+8+8}{3} = \frac{b+c+16}{12}

=> \frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}  ≥  \frac{12}{b+c+16}

=> P  ≥ a = b +c + 48.12(\frac{1}{a+22} + \frac{1}{b+c+16})

Áp dụng bất đẳng thức CauchySchwarz ta được

\frac{1}{a+22} + \frac{1}{b+c+16} ≥ \frac{4}{a+b+c+38} 

=> P ≥ a + b + c + \frac{2304}{a+b+c+38}

Đặt t = a + b + c => t ∈ (0;10] => P ≥ t + \frac{2304}{t+38}. Xét hàm f(x) = t + \frac{2304}{t+38} trên (0;10]

Ta có f'(t) = 1 - \frac{2304}{(t+38)^{2}} = \frac{(t-10)(t+86)}{(t+38)^{2}} => f'(t) ≤ 0 ∀t ∈ (0;10]

=> f'(t) nghịch biến trên (0;10] => f(t) ≥ f(10), ∀t ∈ (0;10] ; f(10) = 58 => P ≥ 58

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{\begin{matrix} a+b+c=10\\ a+b=c\\ \frac{a+10}{3}=4\\ b+c=8 \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3\\ c=5 \end{matrix}\right.

Vậy minP = 58 đạt được khi \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3\\ c=5 \end{matrix}\right.

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết