Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 56870

Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy góc 60o. Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N . Tính thể tích khối chóp S. ABMN theo a .

Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , mặt bên của hình chóp tạo với mặt

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy góc 60o. Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N . Tính thể tích khối chóp S. ABMN theo a .


A.
\frac{5a^{3}\sqrt{2}}{6}
B.
\frac{5a^{3}\sqrt{3}}{6}
C.
\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}
D.
\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi O là giao điểm của AC và BD => SO ⊥ (ABCD)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD ; G là trọng tâm ∆SAC .

Ta có SJ ⊥ CD ; IJ ⊥ CD => CD ⊥ (SIJ)

Góc SIJ < 900 => Góc giữa mặt bên ( SCD ) và mặt đáy ( ABCD ) là góc SJI

=> góc SJI = 600

Ta thấy A, G, M thuộc (P); A, G, M thuộc (SAC) => A,G,M thẳng hàng và M là trung điểm của SC

G là trọng tâm ∆SAC . => ; SO là trung tuyến tam giác SBD => G cũng là trọng tâm tam giác SBD

Lập luận tượng tự ta cũng có => B,G, N thẳng hàng và N là trung điểm của SD .

Gọi K là trung điểm của MN => K cũng là trung điểm của SJ .

∆SJI đều cạnh a ;G cũng là trọng tâm ∆SJI nên IK ⊥ SJ ;

Dễ thấy SJ ⊥ MN nên SJ ⊥ (ABMN)

Thể tích khối chóp S.ABMN là : V = \frac{1}{3}SK.SABMN

∆SJI đều cạnh = > IK = \frac{\sqrt{3}a}{2}; SK = \frac{a}{2}

SABMN  = \frac{1}{2}(AB + MN)IK = \frac{1}{2}(a + \frac{a}{2})\frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{8} => V = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{8} 

= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết