Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5423

Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Xác định x sao cho thể tích của tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất.

Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Xác đị

Câu hỏi

Nhận biết

Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Xác định x sao cho thể tích của tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất.


A.
x = \sqrt{\frac{3}{2}}.
B.
x = \sqrt{\frac{3}{4}}
C.
x = \sqrt{\frac{1}{2}}
D.
x = \sqrt{\frac{2}{3}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi M là trung điểm của AB. Do các tam giác ABD và ABC cân nên:

AB ⊥ MC, AB ⊥ MD => AB ⊥ (MCD)

=> VABCD =  VA.MCD + VB.MCD

          =  \frac{1}{3} AM.SMCD + \frac{1}{3}  BM.SMCD = \frac{1}{3} AB.SMCD

Xét tam giác MCD có:

MC = MD = \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2}.

Gọi H là trung điểm của CD ta có: MH ⊥CD

Do đó: MH = \sqrt{MC^{2}-CH^{2}} =\frac{\sqrt{3-x^{2}}}{2}

=> VABCD = \frac{1}{3}.AB.\frac{1}{2}MH.CD = \frac{x\sqrt{3-x^{2}}}{12}

Áp dụng bất đẳng thức Co-si ta có: x\sqrt{3-x^{2}}\leq \frac{x^{2}+3-x^{2}}{2}=\frac{3}{2}

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = \sqrt{3-x^{2}} <=> x = \sqrt{\frac{3}{2}}.

Vậy thể tích của khối tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = \sqrt{\frac{3}{2}}.

 

AB ⊥ MC, AB ⊥ MD => AB ⊥ (MCD)

ð  VABCD =  VA.MCD + VB.MCD

          =   AM.SMCD +        BM.SMDC =       AB.SMCD

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết