Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 4786

Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C (\widehat{ACB} = 900). Cạnh bên SA của hình chóp vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a. Gọi góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) là α . Tìm α để thể tích hình chóp có giá trị lớn nhất.  

Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C (

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C (\widehat{ACB} = 900). Cạnh bên SA của hình chóp vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a. Gọi góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) là α . Tìm α để thể tích hình chóp có giá trị lớn nhất.  


A.
α ∈ (0 ; \frac{\pi}{2})
B.
α ∈ (0 ; \frac{\pi }{6})
C.
α ∈ (0 ; \frac{\pi }{4})
D.
α ∈ (0 ; \frac{\pi }{3})
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có VSABC = \frac{1}{3}S∆ABC.SA.

Xác định góc giữa mặt phẳng (SBC) và ( ABC):

Ta có: BC ⊥ AC => BC⊥SC (theo định lí 3 đường vuông góc)

=>BC⊥(SAC) mà BC = (SBC) ∩ (ABC) => \widehat{SCA} = (\widehat{(SBC);(ABC)})

( góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và ( SBC))

Đặt  = α; ∆SAC => SA = SC.sinα = asinα; AC = SC.cosα = a.cosα

VSABC = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}CA.CB.SA = \frac{1}{6}.acosα.acosα.asinα = \frac{1}{6}a3.sinα.cos2α.

Để tìm giá trị lớn nhất của V ta xét hàm số: f(α) = sinα.cos2α; α ∈ ( 0; \frac{\pi}{2} )

f’(α) = cos3α – 2cosαsin2α

        =  cosα( cos2α – 2 + 2cos2α ); α ∈ ( 0; \frac{\pi}{2} )

        = cosα(3cos2α - 2)

        = 3cosα ( cosα - \sqrt{\frac{2}{3}} )( cosα + \sqrt{\frac{2}{3}} ); α ∈ ( 0; \frac{\pi}{2})

f’(α) = 0 ⇔ cosα = 0; cosα = \sqrt{\frac{2}{3}} ;cosα = -\sqrt{\frac{2}{3}} ;cosα = -\sqrt{\frac{2}{3}} => α \notin (0; \frac{\pi}{2}) nên loại.

\lim_{\alpha\rightarrow 0} f(α)  = 0 ; \lim_{\alpha\rightarrow \frac{\pi}{2}} f(α) = 0; f(arccos\sqrt{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}.\sqrt{\frac{1}{3}}

và hàm số là hàm số liên tục trên ( 0 ; \frac{\pi}{2} ) nên \begin{matrix}GTLN\\\alpha\in(0;\frac{\pi}{2})\end{matrix} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}}

Kết luận : VSABC = \frac{1}{6}a3 \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} đạt GTLN khi α ∈ (0 ; \frac{\pi}{2}) và cosα = \sqrt{\frac{2}{3}}

 

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết