Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43057

Trong mặt phẳng Oxy, cho (E): \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E) có hoành độ dương sao cho tam giác AOB vuông tại O và có diện tích nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng Oxy, cho (E):  +  = 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E)

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng Oxy, cho (E): \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E) có hoành độ dương sao cho tam giác AOB vuông tại O và có diện tích nhỏ nhất.


A.
 A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )
B.
A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right )
C.
A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right ) hoặc A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )
D.
A(2; \frac{3\sqrt{3}}{2}); B(2; - \frac{3\sqrt{3}}{2})
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) 

Gọi Phương trình đường thẳng OA là ax + by = 0 (a2 + b2 ≠ 0)

Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} ax_{A}+by_{A}=0 & & \\ \frac{x^{2}_{A}}{16}+\frac{y^{2}_{A}}{9}=1 & & \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} x^{2} _{A}=\frac{144b^{2}}{16a^{2}+9b^{2}}& & \\ y^{2} _{A}=\frac{144a^{2}}{16a^{2}+9b^{2}}& & \end{matrix}\right.

Suy ra OA2 = \frac{144(a^{2}+b^{2})}{16a^{2}+9b^{2}}

Phương trình đường thẳng OB vuông góc với OA là: bx - ay = 0

Tương tự: OB2 = \frac{144(a^{2}+b^{2})}{16b^{2}+9a^{2}}

Ta có: \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} = \frac{25}{144} ≥ \frac{2}{OA.OB} ⇔ OA.OB  ≥ \frac{144.2}{25}

SABC = \frac{1}{2}OA.OB ≥ \frac{144}{25}

Dấu "=" xảy ra  ⇔ OA = OB  ⇔ 16a2 + 9b2 = 16b2 + 9a2

⇔ a2 = b2 ⇔ \left [\begin{matrix} a=b & & \\ a=-b & & \end{matrix}

* Nếu a = b thì chọn a = b = 1

Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} ax_{A}+by_{A}=0 & & \\ \frac{x^{2}_{A}}{16}+\frac{y^{2}_{A}}{9}=1 & & \end{matrix}\right.

Do xA > 0 nên chọn: \left\{\begin{matrix} x_{A}=\frac{12}{5} & & \\ y_{A}=-\frac{12}{5} & & \end{matrix}\right. => A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right ) => B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right )

* Nếu a = -b. Chọn a = 1, b = -1. Tương tự A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )

Vậy A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right ) hoặc A\left ( \frac{12}{5} ;\frac{12}{5}\right ), B\left ( \frac{12}{5} ;\frac{-12}{5}\right )

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết