Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43040

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R. C là một điểm di động trên (T). Trên đường thẳng d vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA = R. H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Tìm tập hợp điểm K khi C chạy trên (T). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK.

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R. C là một điểm di động trên (T).

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R. C là một điểm di động trên (T). Trên đường thẳng d vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA = R. H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Tìm tập hợp điểm K khi C chạy trên (T). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK.


A.
Max V = \frac{R^{3}\sqrt{5}}{61}
B.
Max V =  \frac{R^{3}\sqrt{5}}{70}
C.
Max V =  \frac{R^{3}\sqrt{5}}{75}
D.
Max V = \frac{R^{3}\sqrt{5}}{45}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta chứng minh được SB ⊥ (AHK) suy ra mặt phẳng (AHK) cố định. Điểm K luôn nhìn đoạn AH dưới một góc vuông nên tập hợp điểm K là đường tròn đường kính AH nằm trong mặt phẳng (AHK).

Tứ diện SAHK có đường cao SH không đổi nên có thể tích lớn nhất khi diện tích đáy AHK lớn nhất.

Tam giác AHK nội tiếp trong đường tròn cố định đường kính AH nên có diện tích lớn nhất khi K là điểm chính giữa của cung tròn AH (có 2 vị trí của K trên đường tròn đường kính AH)

Ta có SB2 = SA2 + AB2 = R2 + 4R2 = 5R2 => SB = R√5

Lại có AH.SB = SA.AB =>AH = \frac{SA.AB}{SB} = \frac{R.2R}{R\sqrt{5}}=\frac{2R}{\sqrt{5}}

SA2 = SH.SB =>SH = \frac{SA^{2}}{SB} = \frac{R^{2}}{R\sqrt{5}} = \frac{R}{\sqrt{5}}

Thể tích VSAHK lớn nhất khi AK.KH lớn nhất khi AK = KH

Hay 2AK2 = AH2 => AK2 = \frac{2R^{2}}{5}

Vậy Max VSAHK  = \frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}AH2 = \frac{1}{3}.\frac{R\sqrt{5}}{5}.\frac{1}{2}.\frac{2R^{2}}{5} = \frac{R^{3}\sqrt{5}}{75}

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết