Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43007

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; BC = a√2. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a√3, SB = a. Gọi K là trung điểm của CB. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK.

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; BC = a√2. Mặt phẳng (SAB) vuông

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; BC = a√2. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a√3, SB = a. Gọi K là trung điểm của CB. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK.


A.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{7}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{2}
B.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{5}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{2}
C.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{3}
D.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{2}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

∆SAB vuông tại S vì SB2 + SA2 = a2 + 3a2 = 4a2 = AB2

Kẻ SH vuông góc với AB tại H, ta có:

\frac{1}{SH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{SB^{2}}=\frac{4}{3a^{2}} => SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}

\frac{AH}{AB}=\frac{AH.AB}{AB^{2}}=\frac{SA^{2}}{AB^{2}}=\frac{3}{4}

\left\{\begin{matrix} (SAB)\perp (ABCD)\\ (SAB)\cap (ABCD)=AB\\ SH\subset (SAB)\\ SH\perp AB \end{matrix}\right => SH vuông góc với (ABCD) tại H

Vậy VS.ABCD= SH.SABCD

Mà ABCD là hình chữ nhật có:

S_{ABCD}=2a^{2}\sqrt{2};SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3}

Xét \overrightarrow{DK}.\overrightarrow{CH}=0\Rightarrow DK \perpCH tại E

Mà DK \perp SH => DK \perp mp(SHC) tại E

Kẻ EJ\perp SC thì có EJ \perp CH tại E nên Ẹ là đường vuông góc chung của DK và SC

Vậy khoảng cách giữa DK và SC là EJ

∆CEK \sim ∆CBH \Rightarrow \frac{CE}{CB}=\frac{CK}{CH}\Rightarrow CE=\frac{2a}{3}

Mà CH=\frac{3a}{2}\Rightarrow \frac{CE}{CH}=\frac{4}{9}

Kẻ HI \perp SC tại I ta có EJ=\frac{4}{9}HI

\frac{1}{HI^{2}}=\frac{1}{SH^{2}}+\frac{1}{HC^{2}}=\frac{16}{9a^{2}}\Rightarrow HI=\frac{3a}{4}\Rightarrow EJ=\frac{a}{3}

Vậy khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK là EJ=\frac{a}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết