Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 40231

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y  ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P = \sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}} - (\frac{x}{x^{2}+1} + \frac{y}{y^{2}+1}).

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y  ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

P = \sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}} - (\frac{x}{x^{2}+1} + \frac{y}{y^{2}+1}).


A.
 min P = √5 + \frac{4}{5}
B.
 min P = √5 - \frac{4}{5}
C.
 min P = 2√5 + \frac{4}{5}
D.
 min P = 2√5 - \frac{4}{5}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có : 0 < \sqrt{xy} ≤ \frac{x+y}{2} ≤  \frac{1}{2}

\sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\sqrt{1^{2}+2^{2}} ≥  \frac{1}{\sqrt{5}}(2x + \frac{2}{x});

\sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}\sqrt{1^{2}+2^{2}}  ≥  \frac{1}{\sqrt{5}}(2y + \frac{2}{y})

P ≥ \frac{2}{\sqrt{5}}(x + y + \frac{1}{x}+\frac{1}{y}) ≥  \frac{4}{\sqrt{5}}(\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}})

≥ \frac{4}{\sqrt{5}}(\frac{1}{\sqrt{xy}}+4\sqrt{xy}-3{\sqrt{xy}}) ≥ \frac{4}{\sqrt{5}}(2√4 - \frac{3}{2}) = 2√5

\frac{1}{x^{2}+1} =  \frac{1}{x^{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} ≤\frac{1}{x+\frac{3}{4}} = \frac{4}{4x+3}

Tương tự ta có: 

\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1} ≤ \frac{4x}{4x+3}+\frac{4y}{4y+3} = 2 - 3(\frac{1}{4x+3}+\frac{1}{4y+3})

≤ 2 - 3\frac{4}{4x+4y+6} ≤ 2 - \frac{3}{1}.\frac{2}{5} = \frac{4}{5}

Vậy P ≥ 2√5 - \frac{4}{5}. Dấu '=' xảy ra khi x = y = \frac{1}{2}

Vậy min P = 2√5 - \frac{4}{5}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết