Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 40155

ID:41059) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và \widehat{ABC} = 600. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi đường thẳng AO và mặt phẳng (SCD).

ID:41059) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và  = 600. Hình

Câu hỏi

Nhận biết

ID:41059)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và \widehat{ABC} = 600. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi đường thẳng AO và mặt phẳng (SCD).


A.
VS.ABCD = 12√3a3, cos[ AO; (SCD)] = \dpi{80} \frac{3}{4}
B.
VS.ABCD = 2√3a3, cos[ AO; (SCD)] = \dpi{80} \frac{1}{3}
C.
VS.ABCD = a3√3; cos[ AO; (SCD)] = \dpi{80} \frac{1}{3}
D.
VS.ABCD = 3√3a3, cos[ AO; (SCD)] = \dpi{80} \frac{3}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: SABCD = 2SABC = 4a.4a.sin600 = 8a2√3. Từ giả thiết AH = HO = \dpi{80} \frac{OC}{2}

Trong (ABCD), gọi L là chân đường cao hạ từ O của ∆OCD.

Kẻ KH //OL (K ∈ CD) => HK ⊥ CD (1)

Mà H là hình chiếu của S trên (ABCD) => SH ⊥ CD (2)

Từ (1), (2) => CD ⊥ (SHK)

Do góc giữa (SCD) và (ABCD) là \widehat{SKH} = 600. 

Tam giác OCD vuông tại O có \widehat{OCD} = 600. => OL = OC. sin600 = a√3

 ∆HCK có OL // HK => \dpi{80} \frac{OL}{HK} = \dpi{80} \frac{OC}{HC} = \dpi{80} \frac{2}{3}

=> HK = \frac{3a\sqrt{3}}{2}

∆ SHK vuông tại H => SH = HK. tan600 =  \frac{3a\sqrt{3}}{2} .√3 = \dpi{80} \frac{9a}{2}.

Vậy VS.ABCD = \frac{1}{3}.SH.SABCD = \frac{1}{3}.\dpi{80} \frac{9a}{2}. 8√3a2 = 12√3a3

*Tính góc giữa AO và (SCD).

Nhận thấy góc giữa AO và (SCD) cũng chính là góc giữa HC và (SCD).

Trong (SHK) kẻ HM ⊥ KS (M ∈ SG) => HM ⊥ (SCD) (do CD ⊥ (SHK))

 => M là hình chiếu của H trên (SCD). Mà AO ∩ (SCD) = C

=> MC là hình chiếu của AO trên (SCD).

=> Góc giữa AO và (CSD) là \widehat{HCM}

Tam giác HKM vuông tại M => HM = HK. sin600 = \dpi{80} \frac{9a}{4}

Tam giác HCM vuông tại M => sin\widehat{HCM} = \dpi{80} \frac{HM}{HC} = \dpi{110} \frac{\frac{9a}{4}}{3a} = \dpi{80} \frac{3}{4}

=> cos\widehat{HCM} = \dpi{80} \frac{\sqrt{7}}{4}.

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết