Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39908

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích hình chóp S.ABNM và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích hình chóp S.ABNM và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM).


A.
d(D, (SBM)) = \frac{a}{\sqrt{2}},  thể tích hình chóp S.SBNM là: V = \frac{25a^{3}}{24}
B.
d(D, (SBM)) = \frac{a}{\sqrt{6 }},  thể tích hình chóp S.SBNM là: V = \frac{25a^{3}}{24}
C.
d(D, (SBM)) = \frac{a}{\sqrt{5}},  thể tích hình chóp S.SBNM là: V = \frac{25a^{3}}{24}
D.
d(D, (SBM)) = \frac{a}{\sqrt{3}},  thể tích hình chóp S.SBNM là: V = \frac{25a^{3}}{24}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H là giao điểm của BM và AN.

Do M, N là các trung điểm nên BM ⊥ AN

SA ⊥ (ABCD) và MB ⊥ AN => BM ⊥ SH

SA ⊥ AH => \widehat{SHA} nhọn

Suy ra \widehat{SHA} là góc giữa hai mặt phẳng: (ABCD) và (SBM) nên \widehat{SHA} = 450

=> AH = AS = a

Trong tam giác vuông ABM:

\frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AM^{2}} = \frac{1}{AH^{2}}

⇔ \frac{1}{AB^{2}} + \frac{4}{AB^{2}} = \frac{1}{AH^{2}} ⇔ \frac{5}{AB^{2}}=\frac{1}{AH^{2}}

⇔ AB2 = 5AH2 ⇔ AB = AH√5 = a√5

5dt(ABNM) = dt(ABCD) - dt(BCN) - dt(MND) = 5a2 - \frac{5a^{2}}{4}-\frac{5a^{2}}{8}=\frac{25a^{2}}{8}

Suy ra thể tích hình chóp S.SBNM là: V = \frac{1}{3}.\frac{25a^{2}}{8}.a = \frac{25a^{3}}{24}

Gọi F là trung điểm BC. Ta có DF // BM nên DF // (SBM)

Gọi E là giao điểm của DF và AN

Suy ra d(D, (SBM)) = d(E, (SBM)) 

Gọi K là hình chiếu của E trên đường thẳng SH thì EK ⊥ (SBM)

Từ đó d(D, (SBM)) = d(E, (SBM))  = EK

M là trung điểm AD nên H là trung điểm AE => HE = HA = a

Để ý rằng \widehat{KHE} = 45o => EK = \frac{a}{\sqrt{2}}

Vậy d(D, (SBM)) = \frac{a}{\sqrt{2}}

Ghi chú: 

+ d(D, (SBM)) = d(A, (SBM))

+ có thể giải bằng phương pháp tọa độ

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết