Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39800

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = xyz. Chứng minh : \frac{x}{x^{2}+yz} + \frac{y}{y^{2}+xz} + \frac{z}{z^{2}+xy}  ≤ \frac{1}{2}

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = xyz. Chứng minh :  +&nbs

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = xyz.

Chứng minh : \frac{x}{x^{2}+yz} + \frac{y}{y^{2}+xz} + \frac{z}{z^{2}+xy}  ≤ \frac{1}{2}


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta có : \frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy} = 1

Mặt khác: xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2

Mà theo giả thiết x2 + y2 + z2 = xyz nên xy + yz + zx ≤ xyz ; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} ≤1

Lại có : \frac{x}{x^{2}+yz}=\frac{1}{x+\frac{yz}{x}} ≤ \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{x}{yz}) (1)

Tương tự : \frac{y}{y^{2}+xz} ≤  \frac{1}{4}(\frac{1}{y}+\frac{y}{xz})  (2)

\frac{z}{z^{2}+xy} ≤  \frac{1}{4}(\frac{1}{z}+\frac{z}{xy})   (3)

Cộng (1), (2), (3) ta được:

\frac{x}{x^{2}+yz} + \frac{y}{y^{2}+xz} + \frac{z}{z^{2}+xy}

≤ \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}).

 ≤  \frac{1}{4}( 1 + 1) = \frac{1}{2}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz\\ x=y=z \\ x^{2}=yz,y^{2}=xz,z^{2}=xy \end{matrix}\right.

⇔ x = y = z = 3.

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết