Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 39576

Giải hệ phương trình với x, y ∈ R ; \begin{cases} x^{2}y-2x^{2}-2y^{2}+5y-2=0\\ \sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{x-y}=2xy-x^{2}+\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}+1}+\sqrt{y} \\ \end{cases}

Giải hệ phương trình với x, y ∈ R ;

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình với x, y ∈ R ;

\begin{cases} x^{2}y-2x^{2}-2y^{2}+5y-2=0\\ \sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{x-y}=2xy-x^{2}+\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}+1}+\sqrt{y} \\ \end{cases}


A.
(x; y) = (2; 2)
B.
(x; y) = (3; 5)
C.
(x; y) = (4; 2)
D.
(x; y) = (1; 3)
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Giải hệ phương trình với x, y ∈ R

\begin{cases} x^{2}y-2x^{2}-2y^{2}+5y-2=0 \: \: \: (1)\\ \sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{x-y}=2xy-x^{2}+\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}+1}+\sqrt{y}\: \: \: \: \: (2) \\ \end{cases}

Từ phương trình (2) ta có điều kiện: x ≥ y , y ≥ 0

\sqrt{y^{2}+1} - √y - y2 = \sqrt{(x-y)^{2}+1}-\sqrt{x-y} - (x – y)2

Xét hàm số f(t) = \sqrt{t^{2}+1} - √t - t2  liên tục [0; +∞ )

Có  f'(t) = \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}-\frac{1}{2\sqrt{t}} - 2t = t(\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}} - 2) - \frac{1}{2\sqrt{t}} < 0, ∀t > 0

Suy ra hàm số nghịch biến (0; +∞ ) nên f(y) = f(x - y) <=> x = 2y

Thay vào (1) ta có  (y – 2)(x2 – x + 1) = 0 <=> y = 2 => x = 4

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (4; 2).

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết