Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39362

Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a có \tiny \widehat{BAD}  = 120o. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (SBD) một góc bằng α với cotα = 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a có \tiny \widehat{BAD}  = 120o. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (SBD) một góc bằng α với cotα = 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.


A.
VS.ABCD = \tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}, d(B; (SAC)) = \tiny \frac{a\sqrt{2}}{2}
B.
VS.ABCD = \tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}  , d(B; (SAC)) = \tiny \frac{a\sqrt{2}}{2}
C.
VS.ABCD = \tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}, d(B; (SAC)) = \tiny \frac{a\sqrt{2}}{3}
D.
VS.ABCD =  \tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}, d(B; (SAC)) = \tiny \frac{a\sqrt{2}}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi O = AC ∩ BD. Từ giả thiết suy ra AC ⊥ (SBD) tại O nên

 \tiny \angleASO = \tiny \angle(SA;(SBD) = α.

\tiny \angleBAD = 120o  => \tiny \angleADC = 60o

=> ∆ADC đều cạnh a.

Suy ra SABCD = 2SADC = \tiny \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} và DO = \tiny \frac{a\sqrt{3}}{2}, AO = \tiny \frac{a}{2}.

Do đó SO = AO.cotα = \tiny \frac{3a}{2} => SD = \tiny \sqrt{SO^{2}-OD^{2}} = \tiny \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

Suy ra VS.ABCD = \tiny \frac{1}{3}SD.SABCD = \tiny \frac{a^{3}}{2\sqrt{2}} = \tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}.

Kẻ DH ⊥ SO. Vì AC ⊥ (SBD) nên AC ⊥ DH. Suy ra DH ⊥ (SAC)

Ta có ∆SDO vuông tại D nên DH = \tiny \frac{a\sqrt{2}}{2}

Vì O là trung điểm BD nên d(B; (SAC)) = d(D; (SAC))

Từ đó ta suy ra d(B; (SAC)) = \tiny \frac{a\sqrt{2}}{2}.

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết