Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 38102

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn y2 ≥ xz và z2 ≥ xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = \frac{x}{x+y} + \frac{y}{y+z} + \frac{2014z}{z+x} .

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn y2 ≥ xz và z2 ≥ xy. Tì

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn y2 ≥ xz và z2 ≥ xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = \frac{x}{x+y} + \frac{y}{y+z} + \frac{2014z}{z+x} .


A.
MinP = 1008
B.
MinP = 1007
C.
MinP = 1006
D.
MinP = 1004
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có P=\frac{1}{1+\frac{y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{2014}{11+\frac{x}{z}}

Đặt a = \frac{y}{x}; b = \frac{z}{y}; c = \frac{x}{z} kết hợp với giả thiết ta suy ra: \left\{\begin{matrix} a\geq b\geq c> 0 & \\ abc=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0<c\leq 1 & \\ ab\geq 1 & \end{matrix}\right.

Khi đó P=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{2014}{1+c}

Ta có: \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}(\sqrt{ab}-1)\geq 0 ( đúng do ab ≥ 1)

Suy ra \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1} hay P\geq \frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1}+\frac{2014}{c+1}\geq \frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1}+\frac{2014}{\sqrt{c}+1}=\frac{2014+2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1} vì 0< c ≤ 1=> c ≤ √c

Đặt t = √c => 0< t ≤1

Xét hàm số f(t)=\frac{2t+2014}{t+1} với 0< t ≤1. Ta có hàm số f(t) liên tục trên (0;1]

f'(t) = -\frac{2012}{(t+1)^{2}}<0,\forall t\in (0;1)

Hàm số f(t) nghịch biến trên (0;1]. Suy ra f(t) ≥ f(1) = 1008

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1008 khi và chỉ khi x = y = z.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết