Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 38074

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC = 2a\tiny \sqrt{3}, BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \tiny \frac{a\sqrt{3}}{4}, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC = 2a

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC = 2a\tiny \sqrt{3}, BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \tiny \frac{a\sqrt{3}}{4}, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 


A.
\tiny \frac{\sqrt{3}a^{3}}{3}
B.
\tiny \frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}
C.
\tiny \frac{\sqrt{6}a^{3}}{3}
D.
\tiny \frac{\sqrt{6}a^{3}}{6}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết AC = \tiny 2a\sqrt{3}; BD = 2a và AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta có tam giác AOB vuông tại O và AO = a\tiny a\sqrt{3}; BO = a, do đó \tiny \widehat{ABD}= 60^{0}

Hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD).

Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB và DH = a\tiny a\sqrt{3};

OK // DH và OK = \tiny \frac{1}{2}DH = \tiny \frac{a\sqrt{3}}{2} \tiny \Rightarrow  OK ⊥ AB \tiny \Rightarrow AB ⊥ (SOK)

=> (SOK) vuông góc với (SAB); mà \dpi{80} (SOK)\bigcap (SAB)=SK

Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB⊥ OI \tiny \Rightarrow OI ⊥ (SAB), hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao \tiny \Rightarrow \frac{1}{OI^{2}}= \frac{1}{OK^{2}}+\frac{1}{SO^{2}}   \tiny \Rightarrow SO= \frac{a}{2}

Diện tích đáy SABCD = 4S.∆ABO = 2.OA.OB=2\sqrt{3}a^{2} ;

đường cao của hình chóp \tiny SO = \frac{a}{2}.

Thể tích khối chóp S.ABCD: \tiny V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SO=\frac{\sqrt{3}a^{3}}{3} (đvtt)

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết