Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 37221

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc v

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a.


A.
VS.ABCD = \frac{4\sqrt{17}}{3}a3   ;d(BD, SA) = 2\sqrt{\frac{19}{31}}a
B.
VS.ABCD = \frac{4\sqrt{17}}{3}a3  ;d(BD, SA) = 2\sqrt{\frac{17}{31}}a
C.
VS.ABCD = \frac{4\sqrt{17}}{3}a3; d(BD, SA) = 2\sqrt{\frac{15}{31}}a
D.
VS.ABCD = \frac{4\sqrt{15}}{3}a3; d(BD, SA) = 2\sqrt{\frac{15}{31}}a
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H là trung điểm AB. Do SAB cân tại S suy ra SH ⊥  AB, mặt khác (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) và \widehat{SCH} = 60o

Ta có SH = CH.tan600 = \sqrt{CB^{2}+BH^{2}}.tan600 = a\sqrt{15}

VS.ABCD = \frac{1}{3} SH.SABCD = \frac{1}{3}a\sqrt{15} .4a2  = \frac{4\sqrt{15}}{3}a3

Qua A vẽ đường thẳng ∆ song song với BD. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên ∆ và K là hình chiếu của H lên SE, khi đó ∆ ⊥ (SHE) => ∆ ⊥ HK suy ra

HK ⊥ (S, ∆).

Mặt khác, do BD // (S,∆) nên ta có:

d(BD, SA) = d(BD, (S,\dpi{80} \Delta)) = d(B, (S, ∆)) = 2d(H, (S,∆)) = 2HK

Ta có \widehat{EAH}=\widehat{DBA} = 450 nên tam giác EAH vuông cân tại E, suy ra

HE = \frac{AH}{\sqrt{2}} =\frac{a}{\sqrt{2}}

=> HK= \frac{HE.HS}{\sqrt{HE^{2}+HS^{2}}} = \frac{\frac{a}{\sqrt{2}}.a\sqrt{15}}{\sqrt{(\frac{a}{\sqrt{2}})^{2}+(a\sqrt{15})^{2}}} = \sqrt{\frac{15}{31}}a

Vậy d(BD, SA) = 2\sqrt{\frac{15}{31}}a

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết