Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3720

Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho: (\widehat{(SBC),(ABC)}) = 600. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK là tam giác vuông và tính thể tích VS.ABC.

Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộ

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho: (\widehat{(SBC),(ABC)}) = 600. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK là tam giác vuông và tính thể tích VS.ABC.


A.
VS.ABC = \frac{1}{3}R3
B.
VS.ABC = R3
C.
VS.ABC = \frac{R^{3}}{2}
D.
VS.ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}R3
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Chứng minh tam giác AHK là tam giác vuông:

SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC             (1)

Lại có AC ⊥ BC                        (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SAC)

⇒ BC ⊥ AK ∈ (SAC), AK ⊥ SC

⇒ AK ⊥ (SBC) ⇒ AK ⊥ KH ∈ (SBC)

⇒ ∆AHK vuông tại K

⇒ VS.ABC = \frac{1}{3}.S∆ABC . SA = \frac{1}{6}AC.BC.SA,

Với S∆ABC = \frac{1}{2}AC.BC

Ta có: ∆ABC ⇒ BC = \sqrt{AB^{2}-AC^{2}} = \sqrt{4R^{2}-R^{2}} = √3R

⇒ S∆ABC = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}R.√3R = \frac{\sqrt{3}}{2}R2.

Ta có (SAC) ⊥ BC (theo chứng minh trên) ⇒ \widehat{SCA} = 600 .

(\widehat{SCA} là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC) do AC = R)

Trong ∆SAC ⇒ SA = AC.tan600 = R.√3

Từ đó: VS.ABC = \frac{1}{3}.S∆ABC . SA = \frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}R2.R√3 = \frac{R^{3}}{2} (đvtt)

Đáp số:  VS.ABC = \frac{R^{3}}{2} (đvtt)

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết