Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 36471

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = \frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y}.

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = \frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y}.


A.
MinP = 8
B.
MinP = 7
C.
MinP = 6
D.
MinP = 5
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có P = \frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y} 

= \frac{x^{3}+(y+1)^{3}-[x^{2}+(y+1)^{2}]}{(x-1)y}. Đặt y + 1 = t. Điều kiện: t > 1

P = \frac{x^{3}+t^{3}-(x^{2}+t^{2})}{(x-1)(t-1)}. Đặt a = x + t, điều kiện a > 2

Đồng thời: (x + t)2 = a2 => 4xt ≤ a2⇔ xt ≤ \frac{a^{2}}{4}

=> P = \frac{x^{3}+t^{3}-(x^{2}+t^{2})}{(x-1)(t-1)} = \frac{a^{3}-a^{2}-xt(3a-2)}{xt-a+1}

=> P ≥ \frac{a^{3}-a^{2}-\frac{a^{2}}{4}(3a-2)}{\frac{a^{2}}{4}-a+1} = \frac{a^{2}}{a-2}

Xét hàm số: f(a) = \frac{a^{2}}{a-2}; f'(a) = \frac{a^{2}-4a}{(a-2)^{2}}; f'(a)= 0 ⇔ a = 4 hoặc a = 0 (loại)

Bảng biến thiên: 

Do đó MinP = min f(a)(2;+∞) = 8

Dấu = xảy ra khi  \left\{\begin{matrix} a=4\\ x=t \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1\\ x=2 \end{matrix}\right.

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết