Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 35705

Cho a, b, c là ba số thự thỏa mãn \left ( \frac{a+b+c}{2014} \right )^{2}≤ 4abc. Chứng minh rằng: \frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{c}}{a+\sqrt{ab}} ≤ 2014

Cho a, b, c là ba số thự thỏa mãn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là ba số thự thỏa mãn \left ( \frac{a+b+c}{2014} \right )^{2}≤ 4abc. Chứng minh rằng:

\frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{c}}{a+\sqrt{ab}} ≤ 2014


A.
Click để xem đáp án.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Theo giả thiết a, b, c > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số thực a, \sqrt{bc} ta có:

a + \sqrt{bc} ≤ 2\sqrt{a}. \sqrt[4]{bc} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}\leq \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt[4]{b}}.\frac{1}{\sqrt[4]{c}}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = \sqrt{bc} > 0 và \sqrt[4]{b}=\sqrt[4]{c} > 0

\Rightarrow \frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \right ), dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0

- Tương tự \frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}} \right ), dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0

                          \frac{\sqrt{c}}{b+\sqrt{ab}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \right ) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi c = \sqrt{ab} > 0

Do đó: \frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{c}}{a+\sqrt{ab}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \right )=\frac{\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt{ab}}{\sqrt{abc}}

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0 (1)

- Áp dụng BĐT Co-si có \sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2} = a + b + c

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0 (2)

Từ (1) và (2) có \frac{\sqrt{a}}{a+a+b+c}+\frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{c}}{c+\sqrt{ab}}\leq \frac{a+b+c}{\sqrt{abc}}. Dấu "=" xảy ra khi a = b = c > 0 (3)

- Theo giả thiết \left ( \frac{a+b+c}{2014} \right )^{2} ≤ 4abc, với a, b, c > 0

thì a + b + c ≤ 4028\sqrt{abc} (4)

Từ (3) , (4) =>  \frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{c}}{a+\sqrt{ab}} ≤ 2014

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = \left ( \frac{3}{4028} \right )^{2}

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết