Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 34895

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BDa. Trên cạnh AB lấy điểm M sao choBM 2AM. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BDa. Trên cạnh AB lấy

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BDa. Trên cạnh AB lấy điểm M sao choBM 2AM. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA.


A.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{12}{\sqrt{273}}
B.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{5}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{12}{\sqrt{273}}
C.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{5}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{12}{\sqrt{279}}
D.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{5}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{15}{\sqrt{279}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H = AC \cap DM vì (SAC) \perp (ABCD), (SDM) \perp (ABCD) => SH \perp (ABCD)

Từ H kẻ HK \perp AB => SK\perp AB => \widehat{SKH}=60^{0}  là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)

Do AM//CD \Rightarrow \frac{HA}{HC}=\frac{AM}{CD}=\frac{1}{3}\Rightarrow AH=\frac{1}{4}AC=\frac{AO}{2}

MÀ \DeltaABD đều, AO là đường cao:

\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow HK=AH.sin\widehat{HAK}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{8}

\Rightarrow SH=HK. tan600= \frac{3a}{8}

Vậy V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{8}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}

Ta có: cos(OM;SA)=\frac{\left | \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{SA} \right |}{\left |\left | \overrightarrow{OM} \right |}\left |\overrightarrow{SA} \right |

Mà \left | \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{SA} \right |=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM})(\overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HA})

=\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}AO^{2}-AM.AH.cos30^{0}

=\frac{1}{2}.\left ( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right )^{2}-\frac{a}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}}{4}

Vậy cos(OM;SA)=\frac{\frac{a^{2}}{4}}{\frac{a\sqrt{13}}{6}.\frac{a\sqrt{21}}{8}}=\frac{12}{\sqrt{273}}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết