Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 34167

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SB hợp với đáy một góc 30o, M là trung điểm của BC . Tính thể tích khối chóp S.ABM và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM theo a .

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác SAC cân tại S

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SB hợp với đáy một góc 30o, M là trung điểm của BC . Tính thể tích khối chóp S.ABM và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM theo a .


A.
VSABM   =\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}; d( AM;SB)=\frac{a}{\sqrt{15}}
B.
VSABM   =\frac{a^{3}\sqrt{5}}{48}; d( AM;SB)=\frac{a}{\sqrt{13}}
C.
VSABM  =\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}; d( AM;SB)=\frac{a}{\sqrt{13}}  
D.
VSABM  =\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}; d( AM;SB)=\frac{a}{\sqrt{17}}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

• Gọi H là trung điểm AC; ta có:  SH ⊥ AC ⇒ SH ⊥(ABC),  góc SBH = 300  AM = BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}  ,

S_{ABM}=\frac{1}{2}MB.MA=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}

SH=BH.tan300= \frac{a}{2}

Thể tích

VSABM=\frac{1}{3}  SABM.SH=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}

 

•Kẻ Bt / /AM ⇒ AM // (SBt)

⇒ d(AM,SB) = d(AM,(SBt))

Gọi I là hình chiếu của H trên Bt, J = HI \cap AM, L là hình chiếu của J trên SI

Ta có \left\{\begin{matrix} JL\perp SI & \\ Bt\perp (SHI)\Rightarrow Bt\perp JL & \end{matrix}\right.\Rightarrow JL \perp (SBt) \Rightarrow d(AM, (SBt))=JL

• Gọi L' là hình chiếu của L trên  SI, ta có: JL= \frac{2}{3} JL'

HI=\frac{3}{4}BC=\frac{3a}{4},\frac{1}{HL^{2}}=\frac{1}{SH^{2}}+\frac{1}{HI^{2}}=\frac{4}{a^{2}}+\frac{16}{9a^{2}}=\frac{52}{9a^{2}}

\Rightarrow HL'=\frac{3a}{\sqrt{52}}

Vậy d( AM;SB)=JL=\frac{2}{3}HL'=\frac{a}{\sqrt{13}}

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết