Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 33322

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi bằng 2p. Chứng minh rằng: \frac{p}{p-a}+\frac{p}{p-b}+\frac{p}{p-c}   ≥ 9

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi bằ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi bằng 2p. Chứng minh rằng:

\frac{p}{p-a}+\frac{p}{p-b}+\frac{p}{p-c}   ≥ 9


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Cần chứng minh bất đẳng thức phụ: \frac{1}{x}+\frac{1}{y}  ≥ \frac{4}{x+y}   (với x > 0; y > 0).

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với  (x + y)2  ≥  4xy  <=> (x - y)2  ≥  0 (luôn đúng)

Vì p - a > 0; p - b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}   ≥ \frac{4}{2p-(a+b)}=\frac{4}{c}

Tương tự \frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}  ≥ \frac{4}{a}

                 \frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}  ≥ \frac{4}{b}

Do đó: \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}  ≥ 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})

Suy ra: \frac{p}{p-a}+\frac{p}{p-b}+\frac{p}{p-c}   ≥ (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c) =3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}  ≥  9 (đpcm).

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết