Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 32597

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a2+b2+(a+b)=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=2\left ( \frac{a^{2}+1}{a^{2}+a}+\frac{b^{2}+1}{b^{2}+b} \right )+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^{2}+1}}

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a2+b2+(a+b)=4. Tìm giá trị

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a2+b2+(a+b)=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=2\left ( \frac{a^{2}+1}{a^{2}+a}+\frac{b^{2}+1}{b^{2}+b} \right )+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^{2}+1}}


A.
MinP=1+\frac{2}{\sqrt{5}}
B.
MinP=4+\frac{2}{\sqrt{5}}
C.
MinP=4+\frac{2}{\sqrt{6}}
D.
MinP=5+\frac{2}{\sqrt{5}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta có: 4\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}+(a+b)\Leftrightarrow-4\leq a+b\leq 2\Rightarrow 0<a+b\leq 2

Ta có: 2\frac{a^{2}+1}{a^{2}+a}\geq -a+3\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a+2)\geq 0 ( Luôn đúng)

Tương tự ta có: 2\frac{b^{2}+1}{b^{2}+b}\geq -b+3

Do đó P\geq -(a+b)+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^{2}+1}}+6.

Đặt t=a+b, 0<t\leq2, ta có: P\geq -t+\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}+6

Xét hàm số f'(t)=-t+\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}+6}, t\in (0;2]

\Rightarrow f'(t)=-1+\frac{1}{(\sqrt{t^{2}+1})^{3}}<0, \forall t\in (0;2]

Do f(t) liên tục nên f(t) nghịch biến trên (0;2] => f(t) \geq f(2)=4+\frac{2}{\sqrt{5}},\forall t\in (0;2]=4+\frac{2}{\sqrt{5}},\forall t\in (0;2]

Vậy MinP=4+\frac{2}{\sqrt{5}} đạt được khi a=b=1

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết