Skip to main content

Cho x , y , z là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức  \frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}+\frac{2y^{2}+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^{2}}+\frac{2z^{2}+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^{2}}  ≥ 1

Cho x , y , z là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x , y , z là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức 

\frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}+\frac{2y^{2}+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^{2}}+\frac{2z^{2}+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^{2}}  ≥ 1


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Chứng minh  \frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}+\frac{2y^{2}+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^{2}}+\frac{2z^{2}+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^{2}}  ≥ 1    (1)

Ta có  (y+\sqrt{zx}+z)^{2}=(\sqrt{y}.\sqrt{y}+\sqrt{x}.\sqrt{z}+\sqrt{z}.\sqrt{z})^{2}  ≤ ( y + x + z) ( y + z + z)

\Rightarrow \frac{1}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}\geq \frac{1}{(x+y+z)(y+2z)}\Leftrightarrow \frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}\geq \frac{2x^{2}+xy}{(x+y+z)(y+2z)}

=\frac{1}{x+y+z}(\frac{2x^{2}+xy}{y+2z} + x - x ) =\frac{1}{x+y+z}(\frac{2x^{2}+2xy+2xz}{y+2z}-x)=\frac{2z}{y+z}-\frac{x}{x+y+z}

Tương tự cộng lại ta được

VT (1) ≥  \frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{z+2x}+\frac{2z}{x+2y} - 1

= 2(\frac{x^{2}}{xy+2xz}+\frac{y^{2}}{yz+2xy}+\frac{z^{2}}{zx+2zy})  - 1 ≥\frac{2(x+y+z)^{2}}{3(xy+yz+zx)} - 1

Chứng minh được (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx ) => VT(1) ≥ 2 - 1 = 1

Đẳng thức xảy ra  x = y = z 

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.