Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3048

Cho các số thực x,y thỏa mãn \sqrt{2x+3} + \sqrt{y+3} = 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \sqrt{x+2} + \sqrt{y+9}

Cho các số thực x,y thỏa mãn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x,y thỏa mãn \sqrt{2x+3} + \sqrt{y+3} = 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \sqrt{x+2} + \sqrt{y+9}


A.
maxP = \frac{\sqrt{2}}{2} + √22, minP = - \frac{3\sqrt{10}}{2} .
B.
maxP = -\frac{\sqrt{2}}{2} + √22,   minP =- \frac{3\sqrt{10}}{2} .
C.
maxP = \frac{\sqrt{2}}{2} + √22, minP = \frac{3\sqrt{10}}{2} .
D.
 maxP = \frac{\sqrt{2}}{2} - √22, minP = -\frac{3\sqrt{10}}{2} ,
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt \sqrt{2x+3}= a, \sqrt{y+3} = b. Ta có a + b =4, a ≥ 0 , b≥ 0.  (1)

Khi đó P = \sqrt{\frac{a^{2}-3}{2}+2} + \sqrt{b^{2}-3+9} = \sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}} +\sqrt{b^{2}+6}

= \sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}} + \sqrt{(4-a)^{2}+6}.

Từ (1) ta có 0 ≤ a ≤ 4.

Xét hàm số f(a) = \sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}} +\sqrt{(4-a)^{2}+6}, 0 ≤ a ≤ 4.

Ta có f’(a) = \frac{a}{\sqrt{2(a^{2}+1)}} - \frac{4-a}{\sqrt{(4-a)^{2}+6}}  , 0 ≤ a ≤ 4.

          f’(a) = 0 ⇔ \frac{a}{\sqrt{2(a^{2}+1)}} = \frac{4-a}{\sqrt{(4-a)^{2}+6}} , 0 ≤ a ≤ 4 

   ⇔ \left\{\begin{matrix}0\leq a\leq 4\\a^{2}(4-a)^{2}+6a^{2}=2(a^{2}+1)(4-a)^{2}\end{matrix}\right.

  ⇔ \left\{\begin{matrix}0\leq a\leq 4\\a^{4}-8a^{3}+12a^{2}-16(a-2)=0\end{matrix}\right.

   ⇔ \left\{\begin{matrix}0\leq a\leq 4\\(a-2)(a^{3}-6a^{2}-16)=0\end{matrix}\right. ⇔ a= 2.

Ta có f(0) = \frac{\sqrt{2}}{2} + √22; f(2) = \frac{3\sqrt{10}}{2} ; f(4) = \frac{\sqrt{34}}{2} + √6.

Suy ra maxP = \frac{\sqrt{2}}{2} + √22, đạt khi x =-\frac{3}{2} , y = 13;

           minP = \frac{3\sqrt{10}}{2} , đạt khi x = \frac{1}{2}, y =1.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết