Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 2999

Cho các số thực không âm x , y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2  ≤ 3y.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{1}{(x+1)^{2}} +\frac{4}{(y+2)^{2}} + \frac{8}{(z+3)^{2}}

Cho các số thực không âm x , y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực không âm x , y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2  ≤ 3y.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{1}{(x+1)^{2}} +\frac{4}{(y+2)^{2}} + \frac{8}{(z+3)^{2}}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 1
B.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 4
C.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 3
D.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 2
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có 2x + 4y + 2z  ≤ (x2 + 1) + ( y2 + 4) + (z2 + 1) = x2 + y2 + z2 + 6  ≤ 3y + 6.

Suy ra x + \frac{y}{2} + z  ≤ 3. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = \frac{y}{2} = z = 1

Chú ý rằng, với hai số dương a,b áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ≥  \frac{8}{(a+b)^{2}}        (1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Áp dụng (1) ta được P = \frac{1}{(x+1)^{2}} + \frac{1}{(\frac{y}{2}+1)^{2}} +\frac{8}{(z+3)^{2}}

≥  \frac{8}{(x+1+\frac{y}{2}+1)^{2}} + \frac{8}{(z+3)^{2}}

≥ \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+2+z+3)^{2}} = \frac{64\times4}{(2x+y+2z+10)^{2}} ≥ \frac{64\times4}{(6+10)^{2}} =1

Dấu đẳng thức xảy ra khi x =1, y =2, z= 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt khi x =1, y  =2, z =1.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết