Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 29688

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} 4x^{2}+4xy+y^{2}+2x+y-2=0 & \\ 8\sqrt{1-2x}+y^{2}-9=0 & \end{matrix}\right.(x,y \in \mathbb{R})

Giải hệ phương trình:

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} 4x^{2}+4xy+y^{2}+2x+y-2=0 & \\ 8\sqrt{1-2x}+y^{2}-9=0 & \end{matrix}\right.(x,y \in \mathbb{R})


A.
 \left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.; \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{4} & \\ y=-3 & \end{matrix}\right.
B.
  \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2} & \\ y=-3 & \end{matrix}\right.
C.
 \left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.
D.
 \left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.; \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2} & \\ y=-3 & \end{matrix}\right.
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Xét hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} 4x^{2}+4xy+y^{2}+2x+y-2=0(1) & \\ 8\sqrt{1-2x}+y^{2}-9=0 (2)& \end{matrix}\right.

Điều kiện: 1-2x\geq 0\Leftrightarrow x\leq \frac{1}{2}. Đặt t=2x+y, phương trình (1) trở thành:

t^{2}+t-2=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=1 & \\ t=-2 & \end{matrix}\right.

Nếu t =1 thì 2x + y =1⇔1−2x   = y ≥ 0. Thế vào phương trình (2) ta được phương trình : 8\sqrt{y}+y^{2}-9=0

Đặt u=\sqrt{y}\geq 0, phương trình trở thành:

u4 + 8u -9 =0 \Leftrightarrow (u-1)(u3 + u2 + u +9)=0 \Leftrightarrow u=1. Khi đó hệ có nghiệm \left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.

Nếu t =-2 thì 2x + y =-2⇔1−2x   = y +3  ≥ 0. Thế vào phương trình (2) ta được phương trình :

8\sqrt{y+3}+y^{2}-9=0\Leftrightarrow 8\sqrt{y+3}+(y-3)(y+3)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-3 & \\ 8+(y-3)\sqrt{y+3}=0 & \end{matrix}\right.

Với y=-3 thì hệ có nghiệm: \left\{\begin{matrix} x= \frac{1}{2} & \\ y=-3 & \end{matrix}\right.

Xét hệ phương trình: 8+(y-3)\sqrt{y+3}=0 (3)

Đặt v=\sqrt{y+3}\geq 0, phương trình (3) trở thành: v3-6v+8=0

Xét hàm số: f(v)= v3-6v+8, ta có:

f'(v)=3v2-6 và f'(v)=0 \Leftrightarrow v=\pm \sqrt{2}

Hàm f(v) đạt cực đại tại (-\sqrt{2}; 8+4\sqrt{2}), đạt cực tiểu tại (-\sqrt{2}; 8-4\sqrt{2})

Vì f(0)=8>0 và 8-4\sqrt{2}>0 nên f(v) =0 không có nghiệm v\geq 0

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: \left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.; \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2} & \\ y=-3 & \end{matrix}\right.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết