Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 21348

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện   \frac{1}{2}  ≤ a,b,c ≤ 2  Chứng minh: \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện  

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện   \frac{1}{2}  ≤ a,b,c ≤ 2

 Chứng minh:

\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}


A.
Click để xem lời giải chi tiết
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Bất đẳng thức <=> \frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}}\geq \frac{22}{15}

Đặt x = \frac{b}{a} , y=\frac{c}{b}, z= \frac{a}{c}   thì   \frac{1}{4}\leq x,y,z\leq 4   và xyz = 1

bất đẳng thức trở thành :

\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{22}{15}

Không giảm tổng quát, giả sử z nhỏ nhất suy ra xy ≥1   . Theo câu a:

\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+z}=\frac{2}{1+\frac{1}{\sqrt{z}}}+\frac{1}{1+z}=\frac{2t}{t+1}+\frac{1}{t^{2}+1}

  t = \sqrt{z}

Ta sẽ chứng minh \frac{2t}{t+1}+\frac{1}{t^{2}+1}\geq \frac{22}{15}   với \frac{1}{2}\leq t\leq 2

Bằng biến đổi tương đương bất đẳng thức:

<=> 8t3 - 22t2 +23t – 7 ≥ 0

 <=> (2t - 1)(4t2 – 9t + 7) ≥0

 Bất đẳng thức cuối cùng đúng do t\geq \frac{1}{2}  và (4t2 – 9t + 7) ≥0 với mọi t

 

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết