Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 21272

Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\frac{x}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+1}}

Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bi

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\frac{x}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+1}}


A.
min P = \frac{1}{\sqrt{5}}
B.
min P = \frac{2}{\sqrt{5}}
C.
min P = \frac{3}{\sqrt{5}}
D.
min P = \frac{4}{\sqrt{5}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: x+y=1 <=> y=1-x

Thay vào P ta được: P=\frac{x}{\sqrt{(1-x)^{2}+1}}+\frac{1-x}{\sqrt{x^{2}+1}} với 0<x<1

f'(x) = P=\frac{1}{\sqrt{(1-x)^{2}+1}}+\frac{x(1-x)}{\sqrt{[(1-x)^{2}+1]^{3}}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}-\frac{x(1-x)}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}

Ta có: f'(\frac{1}{2})=0

Với \frac{1}{2} < x < 1 ta có:  0< (1-x)2 + 1 <  x2 +1 nên: \frac{1}{\sqrt{(1-x)^{2}+1}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}>0 và \frac{x(1-x)}{\sqrt{[(1-x)^{2}+1]^{3}}}-\frac{x(1-x)}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}>0

do đó: f'(x) > 0

Tương tự: 0<x<\frac{1}{2} ta có: f'(x) < 0

Vậy x = \frac{1}{2} là nghiệm duy nhất của f'(x) = 0 trên (0;1)

Ta có bảng biến thiên của f(x) trên (0;1)  (hs tự lập)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra min P = \frac{2}{\sqrt{5}} khi x = y = \frac{1}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết