Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16799

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : sqrt{frac{a}{b+c}} + sqrt{frac{b}{a+c}} + sqrt{frac{c}{a+b}} > 2.

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng :

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : sqrt{frac{a}{b+c}} + sqrt{frac{b}{a+c}} + sqrt{frac{c}{a+b}} > 2.


A.
frac{sqrt{a}}{sqrt{b+c}} ≥ frac{2a}{a+b+c}; sqrt{frac{b}{a+c}} ≥  frac{2b}{a+b+c};sqrt{frac{c}{a+b}} ≥ frac{2c}{a+b+c}.
B.
sqrt{frac{c}{a+b}} ≥ frac{2c}{a+b+c}.
C.
sqrt{frac{b}{a+c}} ≥  frac{2b}{a+b+c}.
D.
frac{sqrt{a}}{sqrt{b+c}} ≥ frac{2a}{a+b+c}.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: sqrt{frac{b+c}{a}} .1 ≤ frac{1}{2}(frac{b+c}{a} + 12) = frac{a+b+c}{2a}

⇔ frac{sqrt{b+c}}{sqrt{a}} ≤ frac{a+b+c}{2a}

⇔ sqrt{b+c}.2a ≤ (a + b + c) √a (vì a, b, c > 0)

⇔frac{sqrt{a}}{sqrt{b+c}} ≥ frac{2a}{a+b+c}

⇔ sqrt{frac{a}{b+c}} ≥ frac{2a}{a+b+c} (1)

(dấu “=”xảy ra khi sqrt{frac{b+c}{a}} = 1 ⇔ a = b + c)

Chứng minh tương tự ta có: sqrt{frac{b}{a+c}} ≥  frac{2b}{a+b+c}(2)  

                                                              sqrt{frac{c}{a+b}} ≥ frac{2c}{a+b+c}   (3)

Cộng từng vế của (1), (2), (3) ta được:

 sqrt{frac{a}{b+c}} + sqrt{frac{b}{a+c}} + sqrt{frac{c}{a+b}} ≥ frac{2a+2b+2c}{a+b+c}

⇔sqrt{frac{a}{b+c}} +sqrt{frac{b}{a+c}} + sqrt{frac{c}{a+b}} ≥ 2  (*)

Dấu “=” xảy ra khi: left{begin{matrix}a=b+c\b=a+c\c=b+aend{matrix}right. => a + b + c = 2a + 2b + 2c

⇔ a + b + c = 0 trái với giả thiết a, b, c là các số dương.

Vậy bất đẳng thức (*) không xảy ra dấu “=”.

Vậy: sqrt{frac{x}{y+z}} + sqrt{frac{y}{x+z}} + sqrt{frac{z}{x+y}} > 2.

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết