Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16566

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: small F=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}+frac{1}{sqrt{1+b^{2}}}+ab-(a+b)^{2}

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(

Câu hỏi

Nhận biết

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: small F=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}+frac{1}{sqrt{1+b^{2}}}+ab-(a+b)^{2}


A.
max F = small frac{3}{sqrt{10}}+frac{1}{3}
B.
max F = small frac{3}{sqrt{10}}+frac{1}{9}
C.
max F = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{9}
D.
max F = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{3}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

(a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0 ⇔ small frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)}{ab}=(1-a)(1-b) (*)

Ta có: small frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)}{ab}=(frac{a^{2}}{b}+frac{b^{2}}{a})(a+b)geq 2sqrt{ab}.2sqrt{ab}=4ab

(1-a)(1-b) = 1-(a+b)+ab ≤ 1 - 2√(ab) +ab

Khi đó: từ (*) suy ra 4ab ≤ 1 - 2√(ab) +ab

Đặt ab=t (t>0) ta được 4t ≤ 1 - 2√t + t ⇔ 0 < t ≤ small frac{1}{9}

Ta có: small frac{1}{1+a^{2}}+frac{1}{1+b^{2}}leq frac{2}{1+ab}

⇔ small (frac{1}{1+a^{2}}-frac{1}{1+ab})+(frac{1}{1+b^{2}}-frac{1}{1+ab})leq 0

⇔ small frac{(a-b)^{2}.(ab-1)}{(1+ab)(1+a^{2}).(1+b^{2})}leq 0 luôn đúng với mọi a,b ∈ (0;1)

Mặt khác:

small frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}+frac{1}{sqrt{1+b^{2}}}leq sqrt{2(frac{1}{1+a^{2}}+frac{1}{1+b^{2}})}leq sqrt{2.frac{2}{1+ab}}=frac{2}{sqrt{1+ab}}

và: ab – a2 – b2 = ab – (a-b)2 ≤ ab nên:

small Fleq frac{2}{sqrt{1+ab}}+ab=frac{2}{sqrt{1+t}}+t

Xét f(t)= small frac{2}{sqrt{1+t}}+t với 0 < t ≤ small frac{1}{9} ta có: f'(t) >0 với mọi 0 < t ≤ small frac{1}{9}

=> f(t) ≤ f(small frac{1}{9}) = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{9}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=small frac{1}{3}

Vậy max F = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{9} đạt được khi a=b=small frac{1}{3}

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết