Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16076

Cho x,y,z>0 và frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}≤3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=frac{x^{3}}{(y+z)^{2}}+frac{y^{3}}{(z+x)^{2}}+frac{z^{3}}{(x+y)^{2}}

Cho x,y,z>0 và

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y,z>0 và frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}≤3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=frac{x^{3}}{(y+z)^{2}}+frac{y^{3}}{(z+x)^{2}}+frac{z^{3}}{(x+y)^{2}}


A.
Pmin=-frac{3}{4}
B.
Pmin=frac{1}{4}
C.
Pmin=frac{3}{4}
D.
Pmin=-2
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức cô si:

frac{x^{3}}{(y+z)^{2}}+frac{(y+z)}{8}+frac{(y+z)}{8}≥frac{3}{4}x

frac{y^{3}}{(z+x)^{2}}+frac{z+x}{8}+frac{z+x}{8}≥frac{3}{4}y

frac{z^{3}}{(x+y)^{2}}+frac{x+y}{8}+frac{x+y}{8}≥frac{3}{4}z

Cộng vế với vế ta được:

P+frac{x}{2}+frac{y}{2}+frac{z}{2}≥frac{3}{4}x+frac{3}{4}y+frac{3}{4}z

<=> P≥frac{x+y+z}{4}. Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z

Mặt khác ta có:

(x+y+z)(frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z})≥9

=> (x+y+z).3≥(x+y+z)(frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z})≥9

<=> x+y+z≥3

=> P≥frac{3}{4}. Dấu bằng xảy ra_x=y=z=1

Vậy Pmin=frac{3}{4} khi x=y=z=1

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết