Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16004

Cho hai số thực dương a,b. Chứng minh: small frac{1}{a}+frac{a}{b}+ab^{2}geq sqrt{3(1+a^{2}+b^{2})}

Cho hai số thực dương a,b. Chứng minh:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hai số thực dương a,b. Chứng minh: small frac{1}{a}+frac{a}{b}+ab^{2}geq sqrt{3(1+a^{2}+b^{2})}


A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án đúng:

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: small frac{1}{a}+frac{a}{b}+ab^{2}geq sqrt{3(1+a^{2}+b^{2})}

⇔ small frac{1}{a}+a(frac{1}{b}+b^{2})geq sqrt{3(1+a^{2}+b^{2})}

Bình phương hai vế ta được:

small frac{1}{a^{2}}+a^{2}(b^{4}+2b-3+frac{1}{b^{2}})geq b^{2}+3-frac{2}{b}         (1)

Ta có: small (b^{4}+2b-3+frac{1}{b^{2}})geq b+b+frac{1}{b^{2}}-3geq 0

Áp dung BĐT Coossi ta có:

 small frac{1}{a^{2}}+a^{2}(b^{4}+2b-3+frac{1}{b^{2}})geq 2sqrt{b^{4}+2b-3+frac{1}{b^{2}}}

Mặt khác: small 2sqrt{b^{4}+2b-3+frac{1}{b^{2}}}geq b^{2}+3-frac{2}{b^{2}}

<=>small b(b^{2}-1)^{2}+4(b-1)^{2}geq 0                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra điểu phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi: a=b=1

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết