Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 15904

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x5 + y5 + z5.

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x5 + y5 + z5.


A.
Giá trị lớn nhất của P là frac{5sqrt{6}}{36}.
B.
Giá trị lớn nhất của P là frac{sqrt{6}}{36}.
C.
Giá trị lớn nhất của P là frac{3sqrt{6}}{36}.
D.
Giá trị lớn nhất của P là frac{7sqrt{6}}{36}.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Với x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1, ta có :

0 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2x(y + z) + 2yz = 1 – 2x2 + 2yz , nên yz = x2 - frac{1}{2}.

Mặt khác yz ≤  frac{y^{2}+z^{2}}{2} = frac{1-x^{2}}{2}, suy ra : x2 - frac{1}{2} ≤ frac{1-x^{2}}{2}, do đó - frac{sqrt{6}}{3} ≤ x  ≤ frac{sqrt{6}}{3} (*)

Khi đó : P = x5 + (y2 + z2)(y3 + z3) – y2z2(y + z)

= x5 + (1 – x2)[( y2 + z2)(y + z) – yz(y + z)] + (x2 - frac{1}{2})2x 

= x5 + ( 1 – x2)[ - x(1 – x2) + x(x2 - frac{1}{2})] + (x2 - frac{1}{2})2x = frac{5}{4}(2x3 – x).

Xét hàm f(x) = 2x3 – x trên [- frac{sqrt{6}}{3}; frac{sqrt{6}}{3}], suy ra f’(x) = 6x2 – 1; f’(x) = 0

⇔ x = ± frac{sqrt{6}}{6}.

Ta có f(- frac{sqrt{6}}{3}) = f(frac{sqrt{6}}{6} ) = - frac{sqrt{6}}{9}, f(frac{sqrt{6}}{3}) = f(- frac{sqrt{6}}{6}) = frac{sqrt{6}}{9}.

Do đó f(x) ≤ frac{sqrt{6}}{9}.

Suy ra P ≤ frac{5sqrt{6}}{36}

Khi x = frac{sqrt{6}}{3}, y = z = - frac{sqrt{6}}{6} thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị lớn nhất của P là frac{5sqrt{6}}{36}.

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết