Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3|x – y| + 3|y – z| + 3|z – x| - 
.
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3|x – y| + 3|y – z| + 3|z – x| - .
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta chứng minh 3t ≥ t + 1, ∀ t ≥ 0 (*).
Xét hàm f(t) = 3t – t – 1, có f’(t) = 3tln3 – 1 > 0 , ∀ t ≥ 0 và f(0) = 0, suy ra (*) đúng.
Áp dụng bất đẳng thức |a| + |b| ≥ |a + b|,
ta có: (|x – y| + |y – z| + |z – x|)2 = |x – y|2 + |y – z|2 + |z – x|2 + |x – y|(|y – z| + |z – x|)+ |y – z|(|z – x| + |x – y|) + |z – x|(|x – y| + |y – z|) ≥ 2(|x – y|2 + |y – z|2 + |z – x|2).
Do đó |x – y| + | y – z| + |z – x| ≥ 
= 
Mà x + y+ z = 0, suy ra |x – y| + |y – z| + |z – x| ≥ 
Suy ra P = 3|x – y| + 3|y – z| + 3|z – x| - ≥ 3.
Khi x = y = z = 0 thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.
Ta chứng minh 3t ≥ t + 1, ∀ t ≥ 0 (*).
Xét hàm f(t) = 3t – t – 1, có f’(t) = 3tln3 – 1 > 0 , ∀ t ≥ 0 và f(0) = 0, suy ra (*) đúng.
Áp dụng bất đẳng thức |a| + |b| ≥ |a + b|,
ta có: (|x – y| + |y – z| + |z – x|)2 = |x – y|2 + |y – z|2 + |z – x|2 + |x – y|(|y – z| + |z – x|)+ |y – z|(|z – x| + |x – y|) + |z – x|(|x – y| + |y – z|) ≥ 2(|x – y|2 + |y – z|2 + |z – x|2).
Do đó |x – y| + | y – z| + |z – x| ≥
=
Mà x + y+ z = 0, suy ra |x – y| + |y – z| + |z – x| ≥
Suy ra P = 3|x – y| + 3|y – z| + 3|z – x| - ≥ 3.
Khi x = y = z = 0 thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.
Câu hỏi liên quan
-
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Tính tích phân I =
-
Giải phương trình
=
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).