Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 15527

Cho hai số thực dương x,y thoả mãn small x^{3}+y^{3}=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức small A=frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x)(1-y)}

Cho hai số thực dương x,y thoả mãn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hai số thực dương x,y thoả mãn small x^{3}+y^{3}=1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức small A=frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x)(1-y)}


A.
small frac{3}{(sqrt[3]{2}-1)^{3}}
B.
minP=small frac{6}{(sqrt[3]{4}-1)^{3}}
C.
minP=small frac{6}{(sqrt[3]{2}-1)^{3}}
D.
minP=small frac{3}{(sqrt[3]{4}-1)^{3}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt: a=x+y; b=xy

small x^{3}+y^{3}=1<=>(x+y)^{3}-3xy(x+y)=1

<=>small a^{3}-3ab=1 <=>small b=frac{a^{3}-1}{3a}

Do x;y>0 nên b>0 =>a>1

Ta lại có: small x^{3}+y^{3}geq frac{(x+y)^{3}}{4} (CM bằng cách biến đổi tương đương)

=>small 1geq frac{a^{3}}{4} <=>small aleq sqrt[3]{4}

Do đó: 1<small aleq sqrt[3]{4}

Ta có: P=small frac{a^{2}-2b}{1-a+b}=frac{a^{2}-2.frac{a^{3}-1}{3a}}{1-a+frac{a^{3}-1}{3a}}=frac{a^{3}+2}{(a-1)^{3}}

P'(a)=small frac{-3a^{2}-6}{(a-1)^{4}}

=>P(a) nghịch biến trên small (1;sqrt[3]{4}]

=> P(a) small geq P(sqrt[3]{4}) =small frac{6}{(sqrt[3]{4}-1)^{3}}

Dấu bằng xảy ra khi: small left{begin{matrix} x+y=sqrt[3]{4}\ x=y>0 end{matrix}right.<=>x=y=frac{1}{sqrt[3]{2}}

Vậy minP=small frac{6}{(sqrt[3]{4}-1)^{3}} khi x=y=small frac{1}{sqrt[3]{2}}

 

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết