Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 14831

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix}(4x^{2}+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0\\4x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3-4x}=7\end{matrix}\right.

Giải hệ phương trình:

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix}(4x^{2}+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0\\4x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3-4x}=7\end{matrix}\right.


A.
Hệ có cặp nghiệm duy nhất (\frac{1}{2} ; 2).
B.
Hệ có cặp nghiệm duy nhất ( - \frac{1}{2} ; - 2).
C.
Hệ có cặp nghiệm duy nhất ( - \frac{1}{2} ; 2).
D.
Hệ có cặp nghiệm duy nhất (\frac{1}{2} ; - 2).
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện : \left\{\begin{matrix}5-2y\geq 0\\3-4x\geq 0\end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix}y\leq \frac{5}{2}\\x\leq \frac{3}{4}\end{matrix}\right.

Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về  dạng : ( 4x2 + 1)x = (3 – y)\sqrt{5-2y}  ⇔2(4x2 + 1)x   = (6 – 2y)\sqrt{5-2y}

⇔[(2x)2 + 1]2x = [(5 – 2y) + 1]\sqrt{5-2y}

⇔ [(2x)2 + 1]2x = [(\sqrt{5-2y})2 + 1]\sqrt{5-2y}

⇔ f(2x) = f(\sqrt{5-2y})  (1)

Trong đó f(t) = (t2 + 1)t.

Ta có nhận xét : f(t) = t3 + t => f’(t) = 3t2 + 1 > 0, ∀t ∈ R => Hàm số f(t) đồng biến trên R.

Do đó (1) được chuyển về dạng: 2x = \sqrt{5-2y}

⇔ \left\{\begin{matrix}2x\geq 0\\4x^{2}=5-2y\end{matrix}\right.

⇔ \left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y=\frac{5}{2}-2x^{2}\end{matrix}\right.

Từ đó, phương trình thứ hai của hệ được chuyển đổi về dạng : 

4x2 + (\frac{5}{2} - 2x2)2 + 2\sqrt{3-4x} = 7.   (2)

Xét hàm số g(x) = 4x2 + (\frac{5}{2} - 2x2)2 + 2\sqrt{3-4x}  trên [0; \frac{3}{4}], ta có :

g’(x) = 8x – 8x(\frac{5}{2} - 2x2) - \frac{4}{\sqrt{3-4x}} = 4x(4x2 – 3) - \frac{4}{\sqrt{3-4x}} < 0

=> Hàm số g(x) nghịch biến trên [0; \frac{3}{4}].

Từ đó, phương trình (2) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Ta nhận thấy: g(\frac{1}{2}) = 7 => x = \frac{1}{2} là nghiệm duy nhât của (2).

Vậy, hệ có cặp nghiệm duy nhất (\frac{1}{2} ; 2).

 

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết