Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14572

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip (E): \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip (E):

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip (E): \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.


A.
A(\sqrt{3};\frac{\sqrt{2}}{2}) và B(\sqrt{3};-\frac{\sqrt{2}}{2}) 
B.
A(\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2}) và B(\sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}) hoặc A(\sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}) và B(\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2})
C.
A(\sqrt{2};1) và B(\sqrt{2};-1)
D.
A(\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2}) và B(\sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Với điểm A(x;y), 0<x<2 thuộc (E) thì:

\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1 <=> x2+4y2=4 <=>4y2=4-x2               (*)

Từ giả thiết:

+B có hoành độ dương và tam giác OAB cân tại O nên B(x;-y) và:

AB=\sqrt{(y+y)^{2}}=\sqrt{4y^{2}}=\sqrt{4-x^{2}}

+Với H là trung điểm của AB thì OH ⊥AB và OH=x

Khi đó:

S∆OAB=\frac{1}{2}OH.AB=\frac{1}{2}x.\sqrt{4-x^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}(4-x^{2})}≤\frac{1}{2}.\frac{x^{2}+(4-x^{2})}{2}=1

Tức ∆OAB có diện tích lớn nhất bằng 1 và đạt được khi:

x2=4-x2<=> x2=2 <=> x=\sqrt{2} => 4y2=2 <=> y=±\frac{\sqrt{2}}{2}

Vậy ta được:

A(\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2}) và B(\sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}) hoặc A(\sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}) và B(\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2})

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết