Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14437

Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:A=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy

Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy


A.
MinA=2 MaxA=12
B.
MinA=frac{91}{16} MaxA=frac{25}{2}
C.
MinA=frac{191}{4} MaxA=frac{25}{13}
D.
MinA=frac{191}{16} MaxA=frac{25}{2}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Biến đổi A về dạng:

A=16x2y2+12(x3+y3)+9xy+25xy

=16x2y2+12[(x+y)3-3xy(x+y)]+34xy=16x2y2-2xy+12.

Đặt t=xy, ta có đánh giá:

0 ≤xy≤frac{(x+y)^{2}}{4} =frac{1}{4} =>0≤t ≤frac{1}{4}

Khi đó A=16t2-2t+12, với t ∈D=[0;frac{1}{4}], ta có:

A’=32t-2, A’=0<=> 32t-2=0 <=>t=frac{1}{16}

Khi đó:

+ MinA=Min{A(0),A(frac{1}{4}),A(frac{1}{16})}=A(frac{1}{16})=frac{191}{16},

Đạt được khi: t=frac{1}{16} =>left{begin{matrix} x+y=1\xy=frac{1}{16} end{matrix}right.

Tức là x,y, là nghiệm của phương trình:

u2-u+frac{1}{16}=0 <=> u=frac{2pm sqrt{3}}{4}

=>(x;y)=(frac{2+sqrt{3}}{4};frac{2-sqrt{3}}{4}) hoặc (x;y)=(frac{2-sqrt{3}}{4};frac{2+sqrt{3}}{4})

+ MaxA=Max{A(0),(frac{1}{4}),(frac{1}{16})}=A(frac{1}{4})=frac{25}{2}, đạt được khi:

t=frac{1}{4} =>left{begin{matrix} x+y=1\xy=frac{1}{4} end{matrix}right.

tức x,y là nghiệm của phương trình:

u2-u+frac{1}{4}=0 <=>u=frac{1}{2} => (x;y)=(frac{1}{2};frac{1}{2})

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết