Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14355

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn:x(x+y+z)=3yz,Ta có:(x+y)3+(x+z)3+3(x+y)(x+z)(y+z) ≤5(y+z)3.Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn:x(x+y+z)=3yz

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn:

x(x+y+z)=3yz,

Ta có:

(x+y)3+(x+z)3+3(x+y)(x+z)(y+z) ≤5(y+z)3.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:


A.
x=y#z
B.
x#y; y#z
C.
x=y
D.
x=y=z
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt: left{begin{matrix} a=x+y\b=x+z \c=y+z end{matrix}right. =>left{begin{matrix} x=frac{1}{2}(a-b+c)\y=frac{1}{2}(a+b-c) \z=frac{1}{2}(-a+b+c) end{matrix}right.

Khi đó, điều kiện x(x+y+z)=3yz trở thành:

c2=a2+b2-ab                                                                   (1)

<=> c2=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-frac{3}{4}(a+b)2= frac{1}{4}(a+b)2

<=> a+b≤ 2c                                                                (2)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

a3+b3+3abc ≤5c3 <=>(a+b)(a2+b2-ab)+3abc ≤ 5c3

Từ (1) <=> (a+b)c2+3abc ≤ 5c3 <=>(a+b)c+3ab ≤ 5c2.     (3)

Từ (2) ta có: (a+b)c ≤ 2c2                                                 (4)

Mặt khác: ab≤frac{1}{4}(a+b)2 ≤frac{1}{4}(2c)2=c2 <=> 3ab ≤3c2                   (5)

Cộng theo vế (4) ,(5)ta được bất đẳng thức cần chứng minh (3).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: left{begin{matrix} c^{2}=a^{2}+b^{2}\a=b=c end{matrix}right.<=>x=y=z

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết