Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14025

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:M=3(a2b2+b2c2+c2a2)+3(ab+bc+ca)+2sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất củ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M=3(a2b2+b2c2+c2a2)+3(ab+bc+ca)+2sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}


A.
Mmin=sqrt{3}
B.
Mmin=0
C.
Mmin=1
D.
Mmin=2
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt t=ab+bc+ca (t≥0), ta có:

a2+b2+c2 ≥ ab+b+ca

=>1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) ≥3(ab+bc+ca)=3t

=>a2+b2+c2=1-2t và t≤frac{1}{3}

Ngoài ra theo cô si ta có:

t2=(ab+bc+ca)2 ≤ 3(a2b2+b2c2+c2a2) => M ≥ t2+3t+2sqrt{1-2t}

Xét hàm số f(t)=t2+3t+2sqrt{1-2t} trên tập D=[0;frac{1}{3}], ta có:

f'(t)=2t+3-frac{2}{sqrt{1-2t}}

f''(t)=2-frac{2}{sqrt{(1-2t)^{3}}}≤0, forallt ∈D => f'(t) là hàm nghịch biến trên D 

=> f'(t)≥f(frac{1}{3})=frac{11}{3}-2sqrt{3} >0 => f(t) là hàm đồng biến trên D

=> f(t)≥f(0)=2

Vậy ta được Mmin=2 đạt được khi t=0, tức là a,b,c không âm thỏa mãn:

left{begin{matrix} a+b+c=1\ab=bc=ca \ab+bc+ca=0 end{matrix}right.

<=> a,b,c là một trong các bộ số (0;0;1); (0;1;0); (1;0;0)

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết