Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14001

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: 2(a2+b2)+ab=(a+b)(ab+2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4(frac{a^{3}}{b^{3}}+frac{b^{3}}{a^{3}})-9(frac{a^{2}}{b^{2}}+frac{b^{2}}{a^{2}})

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: 2(a2+b2)+ab=(a

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: 2(a2+b2)+ab=(a+b)(ab+2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4(frac{a^{3}}{b^{3}}+frac{b^{3}}{a^{3}})-9(frac{a^{2}}{b^{2}}+frac{b^{2}}{a^{2}})


A.
 Pmin=-frac{4}{3}
B.
 Pmin=-frac{23}{4}
C.
 Pmin=frac{3}{4}
D.
 Pmin=frac{23}{4}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước tiên với ẩn phụ t=frac{a}{b}+frac{b}{a} (t≥2) ta viết lại P dưới dạng:

P=4[(frac{a}{b}+frac{b}{a})^{3} - 3(frac{a}{b}+frac{b}{a})] -9[(frac{a}{b}+frac{b}{a})^{2}-2]

=4(t3-3t)-9(t2-2)=4t3-9t2-12t+18

Với a,b dương ta đi biến đổi điều kiện:

2(a2+b2)+ab=(a+b)ab+2(a+b)

Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho ab ta được:

 2(frac{a}{b}+frac{b}{a})+1≥sqrt{2(a+b)(frac{1}{b}+frac{1}{a})}=2sqrt{2(frac{a}{b}+frac{b}{a}+2)} 

Từ đó suy ra:

2(frac{a}{b}+frac{b}{a})+1≥2sqrt{2(frac{a}{b}+frac{b}{a}+2)} <=>2t+1≥2sqrt{2(t+2)}

<=>(2t+1)2 ≥8(t+2)<=>4t2-4t-15≥0 => t≥frac{5}{2}

Xét hàm số f(t)=4t3-9t2-12t+18 trên [frac{5}{2};+∞), ta có:

f'(t)=12t2-18t-12=6(2t2-3t-2)=6t(2t-5)+12t-12>0

=> Hàm số f(t) đồng biến trên  [frac{5}{2};+∞)

Từ đó fmin=f(frac{5}{2})=-frac{23}{4}

Vậy ta có Pmin=-frac{23}{4} đạt được khi:

t=frac{5}{2} => left{begin{matrix} frac{a}{b}+frac{b}{a}=frac{5}{2}\a+b=2(frac{1}{a}+frac{1}{b}) end{matrix}right. <=>left{begin{matrix} frac{a}{b}+frac{b}{a}=frac{5}{2}\a+b=frac{2(a+b)}{ab} end{matrix}right.

<=>left{begin{matrix} frac{a}{b}+frac{b}{a}=frac{5}{2}\ab=2 end{matrix}right. <=>left{begin{matrix} a^{2}+b^{2}=5\ab=2 end{matrix}right.<=>left{begin{matrix} (a+b)^{2}-2ab=5\ab=2 end{matrix}right.

<=>left{begin{matrix} (a+b)^{2}=9\ab=2 end{matrix}right.<=>left{begin{matrix} a+b=3\ab=2 end{matrix}right.

Suy ra a,b là nghiệm của phương trình:

x2-3x+2=0<=>begin{bmatrix} x=1\x=2 end{bmatrix}=>begin{bmatrix} a=1,b=2\a=2,b=1 end{bmatrix}

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết