Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1341

Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{a^{2}}{(a+b)^{2}} + \frac{b^{2}}{(b+c)^{2}} + \frac{4c^{3}}{3(c+a)^{3}}

Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{a^{2}}{(a+b)^{2}} + \frac{b^{2}}{(b+c)^{2}} + \frac{4c^{3}}{3(c+a)^{3}}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là - \frac{2}{3}
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{2}{3}
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là - \frac{3}{2}
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{3}{2}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có P = \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^{2}} + \frac{1}{(1+\frac{c}{b})^{2}} + \frac{4}{3(1+\frac{a}{c})^{3}}.

Đặt x = \frac{b}{a}, y = \frac{c}{b}, z = \frac{a}{c}.

Khi đó x,y,z dương thỏa mãn xyz = 1 và

P = \frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} + \frac{4}{3(1+z)^{3}}.

Ta chứng minh \frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} ≥ \frac{1}{1+xy}    (*)

Thật vậy bất đẳng thức (*) ⇔ xy(x - y)2 + (1 - xy)2 ≥ 0, luôn đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \left\{\begin{matrix}x=y\\xy=1\end{matrix}\right. ⇔ x = y = 1

Áp dụng (*) và sử dụng xyz = 1 ta có

P ≥ \frac{1}{1+xy} + \frac{4}{3(1+z)^{3}} = \frac{z}{1+z} + \frac{4}{3(1+z)^{3}}.

Xét hàm f(z) = \frac{z}{1+z} + \frac{4}{3(1+z)^{3}} trên (0;+∞)

Ta có f'(z) = \frac{1}{(z+1)^{2}} - \frac{4}{(1+z)^{4}} = \frac{(z-1)(z+3)}{(1+z)^{4}}; f'(z) = 0 ⇔ z = 1

Từ bảng biến thiên

ta suy ra P ≥ \frac{2}{3}, dấu đẳng thức xảy ra khi \left\{\begin{matrix}x=y=1\\z=1\end{matrix}\right.

⇔ x = y = z = 1 hay a = b = c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \frac{2}{3}, đạt khi a = b = c.

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết