Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13407

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn: a^{2}+b^{2}+c^{2}=5(a+b+c)-2ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+c+48(frac{sqrt{3}}{sqrt{a+10}}+frac{1}{sqrt[3]{b+c}})

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn: a^{2}+b^{2}+c^{2}=5(a+b+c)-2ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+c+48(frac{sqrt{3}}{sqrt{a+10}}+frac{1}{sqrt[3]{b+c}})


A.
56
B.
57
C.
58
D.
59
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có a^{2}+b^{2}+c^{2}=5(a+b+c)-2ab <=> (a+b)^{2}+c^{2}=5(a+b+c)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(a+b)^{2}+c^{2}geq frac{1}{2}.(a+b+c)^{2} => frac{1}{2}.(a+b+c)^{2}leq 5(a+b+c) => 0<a+b+cleq 10

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có:

frac{sqrt{3}}{sqrt{a+10}}=frac{1}{sqrt{frac{a+10}{3}}}; sqrt{frac{a+10}{3}}=frac{1}{2}.sqrt{frac{a+10}{3}.4}leq frac{1}{4}.(frac{a+10}{3}+4)=frac{a+22}{12}

=> frac{sqrt{3}}{sqrt{a+10}}geq frac{12}{a+22}

sqrt[3]{b+c}=frac{1}{4}.sqrt[3]{(b+c).8.8}leq frac{1}{4}.frac{b+c+8+8}{3}=frac{b+c+16}{12} => frac{1}{sqrt[3]{b+c}}geq frac{12}{b+c+16}

=> Pgeq a=b+c+48.12.(frac{1}{a+22}+frac{1}{b+c+16})

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

frac{1}{a+22}+frac{1}{b+c+16}geq frac{4}{a+b+c+38} => Pgeq a+b+c+frac{2304}{a+b+c+38}

Đặt t=a+b+c => t in (0;10] => P geq t+frac{2304}{t+38}. Xét hàm f(t)=t+frac{2304}{t+38} trên (0;10]

Ta có: f'(t)=1-frac{2304}{(t+38)^{2}}=frac{(t-10).(t+86)}{(t+38)^{2}} => f'(t)leq0 mọi t in (0;10]

=> f(t) nghịch biến trên (0;10] => f(t)geq f(10) mọi t in(0;10]; f(10)=58

=> Pgeq58

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi left{begin{matrix} a+b+c=10\ a+b=c\ frac{a+10}{3}=4\ b+c=8 end{matrix}right. <=> left{begin{matrix} a=2\ b=3\ c=5 end{matrix}right.

Vậy MinP=58, đạt được khi: a=2; b=3; c=5

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết