Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12995

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x – 2y – z – 4 = 0, (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x – 2y – z – 4 = 0, (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.


A.
Đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(-3 ; 0; 2).
B.
Đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(3 ; 0; -2).
C.
Đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(3 ;0; 2).
D.
Đường tròn (C) có bán kính bằng 3 và tâm H(3 ; 0; 2).
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Mặt cầu (S) có tâm I( 1; 2; 3) và bán kính R = 5.

Ta có: d(I, (P)) = \frac{|2.1-2.2-1.3-4|}{\sqrt{4+4+1}} = 3< R

=>(P) ∩ (S) = {C} là một đường tròn trong mặt phẳng (P).

Đương tròn (C) có bán kính r và tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

+Bán kính r được cho bởi r = \sqrt{R^{2}-IH^{2}}= \sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4

+Gọi (d) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P) ( có vtpt(2 ; -2; -1)), ta có :

(d) qua I(1; 2; 3) và vtcp \overrightarrow{n_{P}}(2; -2; -1) ⇔ (d): \left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3-t\end{matrix}\right., t ∈ R.

+Khi đó tọa độ của H là nghiệm x, y, z của hệ phương trình:

\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3-t\\2x-2y-z-4=0\end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3-t\\2(1+2t)-2(2-2t)-(3-t)-4=0\end{matrix}\right.

=> \left\{\begin{matrix}x=3\\y=0\\z=2\end{matrix}\right.=> H(3; 0 ;2).

Vậy, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(3; 0; 2).

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết